Reichel Mathematik 8, Schulbuch

213 II.2 „Moderne“ Algebra – Algebraische Strukturen II Addition Multiplikation 1) (a + b) * R 6) (a·b) * R R ist gegenüber „ + “ und „ · “ abgeschlossen. 2) (a + b) + c = a + (b + c) 7) (a·b)·c = a·(b·c) „ + “ und „ · “ sind assoziativ. 3) a + 0 = 0 + a = a 8) a·1 = 1·a = a Für „ + “ bzw. „ · “ ist 0 bzw. 1 neutrales Element. 4) a + (‒a) = 0 9) a·​  1 _ a ​= 1, a ≠ 0 Zu jedem zulässigen a existiert bezüglich „ + “ und „ · “ jeweils genau ein inverses Element. 5) a + b = b + a 10) a·b = b·a „ + “ und „ · “ sind kommutativ. 11) (a + b)·c = a·c + b·c Es existiert ein Distributivgesetz. Überprüfe, ob für das Rechnen in der Menge der rationaøen Zahøen Q bzw. in der Menge der kompøexen Zahøen C die gøeichen Grundgesetze geøten! Du siehst: Für ( R ; +, · ) , ( Q ; + · ) und ( C ; +, · ) gelten die gleichen Rechengesetze. Man sagt: Die drei Zah- lenbereiche haben die gleiche algebraische Struktur . Man nennt diese Struktur einen (algebraischen) Körper und spricht vom Körper der reellen Zahlen , vom Körper der rationalen Zahlen und vom Körper der komplexen Zahlen . Bemerkungen: 1) Die Tatsache, dass ( R ; +, · ) , ( Q ; +, · ) und ( C ; +, · ) die gleiche algebraische Struktur tragen, darf nicht dahingehend missverstanden werden, dass R , Q und C überhaupt strukturgleich wären. Die Zahlen- bereiche R , Q und C besitzen noch andere Strukturmerkmale (Ordnungsstruktur, topologische Struk- tur), die sie ganz wesentlich voneinander unterscheiden. So können vermöge der Ordnungsrelation „ ª “ die Elemente von R (und auch von Q ) geordnet werden, nicht jedoch die von C (vgl. Buch 7. Kl. Aufg. 43). R und C stimmen in ihrer Ordnungsstruktur nicht überein. Weiters besitzt jede nach oben beschränkte Folge reeller Zahlen eine kleinste obere Schranke (vgl. das Vollständigkeitsprinzip der reellen Zahlen in Buch 6. Kl. S. 135). Für jede nach oben beschränkte Folge rationaler Zahlen gilt dies jedoch nicht. R und Q stimmen in ihrer topologischen Struktur nicht überein. 2) Die Rechenoperationen „Subtraktion“ bzw. „Division“ werden offensichtlich über die inversen Ele- mente als inverse Operationen (Umkehroperationen) der Addition bzw. Multiplikation angesprochen. Dies rechtfertigt es, ( R ; +, · ) statt ( R ; +, –, · ,) zu schreiben. 3) Die Verwendung des Zeichens „ + “ für die Addition rationaler wie auch reeller wie auch komplexer Zahlen ist genau genommen unzulässig, weil die Bedeutung der „Addition“ davon abhängt, in welcher Menge sie durchgeführt wird. Man müsste also eigentlich + Q bzw. + R bzw. + C schreiben. Wegen Q ² R ² C ist diese Unterscheidung hier jedoch nicht zweckmäßig. Analoges gilt für die Multiplikation. 4) Ganz allgemein nennt man eine (endliche oder unendliche) Menge M , in der zwei Rechenoperationen „ + “ und „ · “ erklärt sind, die den oben tabellierten Rechengesetzen genügen, einen Körper. Dabei müssen diese Rechenoperationen nicht die Addition und Multiplikation im üblichen Sinn bedeuten. Um Missver- ständnissen vorzubeugen, verwendet man oftmals die „allgemeinen“ Operationszeichen „ ˛ “ und „ · “. Überprüfe, ob ( Z ; + ,·) einen Körper biødet! Du siehst: Bezüglich der Multiplikation existieren (außer für die Zahl 1 ) keine inversen Elemente; ( Z ; + , · ) ist kein Körper, sondern (nur) ein so genannter Integritätsbereich . Dennoch ist es sinnvoll, auch mit einer solchen algebraischen Struktur zu arbeiten. Erst der Umstand, dass die Division in Z nicht un- beschränkt ausführbar ist, macht manche Fragen wie zB die nach der Teilbarkeit sinnvoll (vgl. Buch 5. Kl. S. 57). Begründe! 2. Die algebraische Struktur „Gruppe“ Offensichtlich entsprechen die oben tabellierten Gesetze 1) bis 5) und 6) bis 10) einander (wobei die Ge- setze auf ganz R gelten außer das Gesetz 9), das nur auf R \{0} gilt). Die Gesetze 1) bis 5) legen also für ( R ; +) die gleiche algebraische Struktur fest wie die Gesetze 6) bis 10) für ( R \{0}; · ) . Dies gibt Anlass zur + Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv