Reichel Mathematik 8, Schulbuch

212 Algebra II 844  Löse graphisch! a 3 x – 2 y > 6 b x – y < ‒2 c y > 1/x d y º 1/x x + y ª 4 3 x + y ª 6 2(x – 2) 2 + 4 y 2 ª 8 25x 2 – 2 (y – 5) 2 ª 50 8 x + y > ‒3 x + 2 y > ‒2 845  1 Erkøäre (in Form eines Kurzreferates) anhand einer zu Fig. II. 3 anaøogen Figur, warum die Lösungsmenge einer øinearen Un - Gøeichung mit drei Variabøen ax + by + cz > d ein Haøbraum ist, der von jener Ebene ε begrenzt wird, die von der zugehörigen øinearen Gøeichung beschrieben wird. (Gehört ε zur Lösungsmenge, so nennt man den Haøbraum abgeschøossen , wenn nicht, offen .) 2 Argu- mentiere sowohø mit z > … (bzw. z < … ) aøs auch mit y > … (bzw. y < … ) und x > … (bzw. x < … )! 3 Was passiert, wenn ε zu einer der Koordinatenebenen paraøøeø ist? 846  Beschreibe die in Fig. II. 4 angegebene quadratische Pyramide durch ein System von øinearen Ungøeichungen! 847  Erkøäre an einer Schrägrissskizze, weøche Teiømenge des R 3 gemeint ist! a x 2 + y 2 + z 2 º 25 b x 2 + y 2 + z 2 < 25 c 9 x 2 + 4 y 2 + z 2 > 36 d x 2 + y 2 + 4 z 2 ª 4 „Moderne“ Algebra – Algebraische Strukturen 1. Die algebraische Struktur „Körper“ Wie wir in Kap. II.1 gesehen haben, können viele Gleichungen durch geschicktes Anwenden von Um­ kehroperationen bzw. Umkehrfunktionen schrittweise so lange umgeformt werden, bis auf der linken Seite alleine die Variable (Unbekannte) x steht und auf der rechten Seite ein Term, der kein x mehr ent- hält. Während die Variable (Unbekannte) x in der gegebenen Gleichung zunächst implizit vorkommt, ist sie nun explizit dargestellt. Eine explizite Darstellung ist nicht immer möglich. Ihre Existenz hängt auch davon ab, ob die benötig- ten Umkehroperationen (inversen Operationen) bzw. Umkehrfunktionen (inversen Funktionen) zur Ver- fügung stehen. Deren Existenz und Eindeutigkeit hängt davon ab, welchen Zahlenbereich bzw. Defini­ tionsbereich wir zugrunde legen. Für das Lösen von algebraischen Gleichungen a n x n + … + a 0 = 0 ist es offensichtlich wichtig, die Re- chenoperationen Addition und Multiplikation sowie die Potenzfunktionen umkehren zu können. Wie wir wissen (vgl. Buch 7. Kl. S. 32), ist dies erst in C uneingeschränkt möglich. Man nennt daher C algebra- isch abgeschlossen . Für das Lösen von nicht-algebraischen (transzendenten) Gleichungen ist es wichtig zu wissen, in wel- chem Bereich die beteiligten Funktionen (bijektiv) definiert sind; nur dort sind sie ja (eindeutig) um- kehrbar (vgl. Buch 5. Kl. S. 109). Neben dem Wissen, dass die (Umkehr-)Operation ausführbar ist, ist es genauso wichtig zu wissen, wie sie auszuführen ist; mit anderen Worten: welche Rechengesetze, Rechenregeln zu beachten sind. Solche Gesetze kennen wir in Form von Vertauschungsgesetzen, Vorrangregeln etc. aber auch in Form von Additionstheoremen, Potenzrechenregeln usw. seit langem. Um also Gleichungen lösen zu können, muss man über die beteiligten Zahlenbereiche, Rechenoperatio- nen bzw. Funktionen und deren Regelsystem Bescheid wissen. Im Folgenden sind die Grundgesetze für das Rechnen mit reellen Zahlen zusammengefasst (vgl. Buch 5.Kl. S. 50). Für alle a , b , c * R gilt: Fig. II.4 x z y 1 0 1 A(2I3I0) 1 S(0I0I4) A  843 II.2 Nur zu Prüfzwecken – Eigent m des Verlags öbv