Reichel Mathematik 8, Schulbuch

211 II.1 „Klassische“ Algebra – Gleichungslösen II 840  Beispieø C zeigt die Lösung eines øinearen 4×4-Gøeichungssystems, bei dem – um nicht im „Kreis“ zu rechnen – das GAUSS ’ sche Eøiminationsverfahren so systematisch angewendet wird, dass das Gøei- chungssystem zum Schøuss in Stufenform (Dreiecksform) vorøiegt. Erøäutere (in einem Kurzreferat) an diesem Beispieø, 1 wie man die Stufenform erhäøt und wie man „Stufe für Stufe emporsteigend“ die Koordinaten des (hier eindeutigen ) Lösungsvektors berechnet! 2 Überøege anaøog zu Buch 6. KL. S. 54f, weøcher Lösungsfaøø vorøäge und wie man die Lösungsmenge erhieøte, wenn die unterste Stufe 0 · x 4 = 0 bzw. 0 · x 4 = c mit c ≠ 0 øautet! 3 Wie øautet und berechnet sich die Lösungsmenge, wenn zusätzøich die zweitunterste Stufe die Gestaøt 0 · x 3 + 0 · x 4 = 0 hat? Beispiel C Löse für G = R 4 !  x 1 +  x 2 +  x 3 + x 4 = 8 x 1 + 2 x 2 – x 4 = ‒2 2 x 1 +  x 3 = 0  x 2 + 2 x 3 = 6 Lösung: Im ersten Bøockschritt addieren wir das (‒1)-fache der 1. Zeiøe zur 2. Zeiøe und das (‒2)-fache der 1. Zeiøe zur 3. Zeiøe und erhaøten (bei unveränderter 1. und 4. Zeiøe): x 1 + x 2 + x 3 + x 4 = 8  x 2 – x 3 – 2 x 4 = ‒10  ·2·(‒1) – 2 x 2 – x 3 – 2 x 4 = ‒16     ¡ x 2 + 2 x 3 = 6      ¡ x 1 + x 2 + x 3 + x 4 = 8          Zweiter Bøockschritt: x 2 – x 3 – 2 x 4 = ‒10 – 3 x 3 – 6 x 4 = ‒36 3 x 3 + 2 x 4 = 16 x 1 + x 2 + x 3 + x 4 = 8  w x 1 = ‒1 x 2 – x 3 – 2 x 4 = ‒10  w x 2 = 2 – 3 x 3 – 6 x 4 = ‒36  w x 3 = 2       L = {(‒1 1 2 1 2 1 5)} – 4 x 4 = ‒20   w x 4 = 5 841  Löse für G = R 4 ! a 2 x 1 +  x 2 +  x 3 – x 4 = ‒2 b  x 1 + 3 x 2 –  x 3 = 1 c  ‒x 1 – 2 x 2 + 2 x 3 –  x 4 = ‒2 2 x 1 + 3 x 2 –  x 3 = 3 2 x 1 – 6 x 2 + 4 x 3 – x 4 = 9  x 1 + 2 x 2 –  x 4 = ‒4 ‒2 x 1 –  x 2 + 2 x 3 + x 4 = ‒1 4 x 1 –  x 3 + x 4 = 7  x 1 – 3 x 3 + 2 x 4 = 9 x 2 – x 4 = ‒2 2 x 1 + 3 x 2 – x 4 = 4 2 x 2 –  x 3 –  x 4 = ‒5 842  Löse für G = R 4 ! a x 1 + x 2 – 3 x 3 – x 4 = 3 b x 1 – 2 x 2 + 2 x 3 + x 4 = 4 c x 1 – 4 x 2 + x 3 + x 4 = 0 x 1 – x 2 – x 3 – 2 x 4 = 1 x 1 – 3 x 2 + x 3 – x 4 = 1 ‒x 1 – 2 x 2 + x 3 – x 4 = 1 x 2 + x 3 – 2 x 4 = 3 x 1 – x 3 + x 4 = 0 x 1 – 2 x 2 – x 3 = 3 843  1 Erkøäre (in Form eines Kurzreferates) anhand von Fig. II.3, warum die Lösungsmenge einer øinearen Un -Gøeichung mit zwei Variabøen eine Haøb­ ebene ist, die von jener Geraden g begrenzt wird, die von der zugehörigen øinearen Gøeichung beschrieben wird. (Gehört g zur Lösungsmenge, so nennt man die Haøbebene abgeschøossen , wenn nicht, offen . Im ersten Faøø zeich- nen wir die Gerade voøø, im zweiten Faøø strichøiert.) 2 Zeichne eine anaøoge Figur, wo statt mit y > … (bzw. y < … ) mit x > … (bzw. x < … ) argumentiert wird! 3 Was passiert, wenn g zu einer der Koordinatenachsen paraøøeø ist? Fig. II.3 y = kx + d y < kx + d y > kx + d Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv