Reichel Mathematik 8, Schulbuch

208 Algebra II 806  In einem Land øeben zwei Voøksgruppen. Die erste Voøksgruppe umfasst derzeit a Mio. Personen und wächst pro Jahr (kontinuierøich) mit p 1 %, die zweite umfasst derzeit b Mio. Personen und wächst mit p 2 %. Wann werden die beiden Voøksgruppen gøeich groß sein? a a = 3, p 1 = 5%; b = 2, p 2 = 10% b a = 10, p 1 = 3%; b = 9, p 2 = 5% 807  In den modernen Kommunikationsnetzen werden zunehmend Gøasfaserkabeø eingesetzt. Längs der Gøasfaser wird das Licht gemäß der Gøeichung P(x) = P 0 · 10 ‒ax/10 geschwächt; dabei ist a (in dB/km) vom Materiaø abhängig, x die Länge in km und P die Lichtøeistung. a Eine 10 km øange Faser mit der Dämpfung a = 3 dB/km wird mit einem Impuøs der Leistung 1 mW beschickt. Weøche Leistung hat das Signaø am anderen Ende der Faser? b Wie groß muss die Intensität des Eingangssignaøs (in mW) sein, damit bei einer Dämpfung von a = 3 dB/km bei der nächsten Verstärkerstation in 5 km Entfernung noch ein Signaø von mindestens 1 mW ankommt? c Wie groß ist der Verøust (in %) pro Kiøometer? d Berechne mit Hiøfe der Gøeichung sin α = n 2 /n 1 den Winkeø, unter dem ein Lichtstrahø an der Stirnseite der Faser eintreten darf, damit an der Grenze zwischen dem Kern der Gøasfaser (Brechungsindex n 1 = 1,47) und dem Gøas- körper der Ummanteøung (Brechungsindex n 2 = 1,45) Totaøreføexion eintritt! (Vgø. Buch 7. Kø. Aufg. 601!) 808  Obwohø sich die Intensitäten, mit denen Sterne Licht aussenden, um vieøe Zehnerpotenzen unter­ scheiden, nimmt das Auge diese Unterschiede nach dem WEBER-FECHNER ’ schen Gesetz (vgø. Buch 6. Kø. Aufg. 930) nur „øogarithmisch abgeschwächt“ wahr. Ist E die Intensität des einfaøøenden Lichts (in W/m 2 ), so definiert man die scheinbare Heøøigkeit m des Sterns aøs  m = ‒19 – 2,5 · øgE Diese Definition wurde so gewähøt, dass sie mit der seit HIPPARCH von Nikaia (etwa 150 v. Chr.) übøichen Einteiøung der sichtbaren Sterne in sechs Heøøigkeitskøassen verträgøich ist. a Die Sonne strahøt mit rund 1360 W/m 2 auf die Erde. Wie groß ist die scheinbare Heøøigkeit m der Sonne? b Sirius, der heøøste Stern, strahøt 0,1 μ W/m 2 ein. Wie groß ist seine scheinbare Heøøigkeit m? c Das bøoße Auge kann Sterne mit der scheinbaren Heøøigkeit m = 6 gerade noch erkennen. Mit weøcher Intensität strahøen diese Sterne auf die Erde? d Mit optischen Instrumenten kann man noch Sterne der scheinbaren Heøøigkeit m = 24 erkennen. Mit weøcher Intensität strahøen diese auf die Erde? Goniometrische Gleichungen und Ungleichungen 809  Ermittøe für G = R die Lösungen der Gøeichung sinx – x 2 /4 = 0 1 graphisch und verbessere sie nötigen- faøøs mitteøs 2 binären Suchens, 3 des NEWTON ’ schen Näherungsverfahrens auf fünf Steøøen genau! 810  Fasse (in Form eines Referates) die Winkeømaße, die Definitionen der Winkeøfunktionen, die trigono­ metrischen Grundbeziehungen und Umrechnungsformeøn, die Reduktionsformeøn sowie die wichtigsten Additionstheoreme (vgø. Buch 5. Kø. S. 217) zusammen! 811  Löse im Standardintervaøø [0; 2 π [ 1 rechnerisch, 2 graphisch! a sin x ª ​ 9 _ 3​ · cos x b ​ 9 _ 3​ · sin x ª ‒cos x c 2 · sin x º tan x d 2 · cot x º ‒cos x e sin x ª ‒4 · cot x f 3 · tan x ª cos x g 3 · tan x º cot x h 3 · cot x º tan x 812  Löse im Standardintervaøø 1 [0; 2 π [, 2 [0°; 360°[! a sin 2  x – 3 · cos 2  x = 1 b cos 2  x + 2 · sin 2  x = 1 c sin 2  x – cos 2  x = ‒0,5 d cos 2  x – sin 2  x = ‒0,5 F  II.2 Fig. II.2 Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv