Reichel Mathematik 8, Schulbuch

202 Algebra II Im Fall einer linearen Gleichung mit drei Variablen besteht die Lösungsmenge (im Allgemeinen) aus den Punkten einer Ebene im R 3 , im Fall einer quadratischen Gleichung mit drei Variablen (im Allgemei- nen) aus den Punkten einer Fläche 2. Grades im R 3 (vgl. Buch 7. Kl. S. 224ff). Dieser Zusammenhang zwischen geometrischen und algebraischen Problemstellungen kann insbeson- dere zum graphischen Lösen von Gleichungssystemen mit mehreren Variablen genützt werden. So ha- ben wir (vgl. Buch 5. Kl. Kap. 6) Systeme von linearen Gleichungen mit zwei Variablen gelöst, indem wir die den einzelnen Gleichungen entsprechenden Geraden zum Schnitt brachten. Analog kann man ein System von quadratischen Gleichungen mit zwei Variablen lösen, indem man die den einzelnen Glei- chungen entsprechenden Kegelschnittslinien (mit dem Computer) zeichnet und die Koordinaten ihrer Schnittpunkte abliest; sie geben die Lösungen des Gleichungssystems an. Auch Systeme von Gleichungen mit drei Variablen können (mit Mitteln der darstellenden Geometrie) rein graphisch gelöst werden. In der 6. Klasse haben wir dies angedeutet, als wir die Lösungsmenge von Systemen von linearen Gleichungen mit drei Variablen als Durchschnittsmenge der den einzelnen Glei- chungen entsprechenden Ebenen bestimmten (vgl. Buch 6. Kl. S. 49 und 53). Analog könnte man die Lö- sungsmenge von Systemen von quadratischen Gleichungen mit drei Variablen als Durchschnittsmenge der den einzelnen Gleichungen entsprechenden Flächen 2. Grades bestimmen. Liegen (Systeme von) Gleichungen mit mehr als drei Variablen vor, so muss man die gewohnte Bezeich- nung x , y und z verlassen und zu indizierten Variablen x 1 , x 2 , … übergehen. Ein lineares Gleichungs­ system mit m Gleichungen und n Variablen kann man dann anschreiben als a 11 x 1 + a 12 x 2 + … + a 1n x n = b 1 a 11 a 12 … a 1n x 1 b 1 a 21 x 1 + a 22 x 2 + … + a 2n x n = b 2 a 21 a 22 … a 2n x 2 b 2  … +  … + … +  … = …  É … … … …  · … = …   É A·X = B a m1 x 1 + a m2 x 2 + … + a mn x n = b m a m1 a m2 … a mn x n b m Das aus m Zeilen und n Spalten bestehende rechteckige Zahlenschema der Koeffizienten a ij mit 1 ª i ª m , 1 ª j ª n heißt Koeffizientenmatrix A des linearen Gleichungssystems; der Spaltenvektor X steht für den gesuchten Lösungsvektor, B heißt Störspalte des Systems. Ist B der Nullvektor, so heißt das Gleichungssystem homogen , sonst inhomogen . Der Multiplikationspunkt zwischen der Matrix A und dem Vektor X ist dabei die Kurzschreibweise dafür, wie aus den Elementen von A und X die linken Seiten der linearen Gleichungen (zurück) zu gewinnen sind. Wie øautet die Rechenvorschrift? Offenbar hat man jede Zeile von A wie folgt abzuarbeiten: Man multipliziert das erste Element dieser Zeile mit dem obersten von X , das zweite mit dem zweitobersten von X usw. und bildet schließlich die Summe all dieser Produkte, womit die dieser Zeile zugeordnete Koordinate des Ergebnisvektors berech- net ist. Diese Rechenoperation nennt man MMV als Abkürzung für „Multiplikation einer Matrix mit ei- nem Vektor“. Wie bei Gleichungssystemen mit drei Variablen gibt es für Gleichungssysteme mit m Gleichungen und n Variablen zahlreiche Lösungsfälle. – Ist m = n , so tritt im Allgemeinen der Hauptfall ein, also ein einziger, eindeutig bestimmter Lösungs- vektor – geometrisch gesehen ein fester Punkt X im R n . – Ist m < n , so ist das Gleichungssystem unterbestimmt und hat im Allgemeinen viele Lösungen, genau- er: eine mehrparametrige Lösung – geometrisch gesehen eine Gerade, Ebene usw. im R n . – Ist m > n , so ist das Gleichungssystem überbestimmt und hat im Allgemeinen keine Lösung – geome- trisch gesehen die leere Menge . Das Lösen linearer Gleichungssysteme mit vielen Gleichungen und vielen Variablen ist mühsam und wird daher heute üblicherweise vom Computer bzw. sogar Taschenrechner erledigt (vgl. Buch 5. Kl. S. 180). Steht keiner zur Verfügung, so ist das GAUSS‘sche Eliminationsverfahren im Allgemeinen das günstigste Verfahren . A  840 Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv