Reichel Mathematik 8, Schulbuch

201 II.1 „Klassische“ Algebra – Gleichungslösen II Die Anzahl der Lösungen einer Gleichung hängt nicht nur vom Typ der Gleichung ab, sondern auch von der Grundmenge G . Steht x etwa für eine Anzahl, so ist als Grundmenge G die Menge N der natürli- chen Zahlen zu wählen. Dennoch rechnet man aber im Allgemeinen zunächst so, als ob x  * R oder so- gar x * C wäre. Dies hat rechentechnische Gründe ( C ist algebraisch abgeschlossen, sodass man auf ge- wisse umständliche Fallunterscheidungen verzichten kann), aber auch theoretische. Bei goniometrischen Gleichungen weiß man zB aufgrund der Periodizität, wie viele reelle Lösungen in- nerhalb eines Intervalls liegen müssen, dessen Länge ein Vielfaches von π ist, während zB für diophan- tische Gleichungen (das sind solche, bei denen nach den ganzzahligen Lösungen gefragt wird) keine solche allgemeine Aussage gemacht werden kann. Bei algebraischen Gleichungen wissen wir zB aufgrund des (erweiterten) Fundamentalsatzes der Algeb- ra (vgl. Buch 7. Kl. S. 29), dass für G = C die Anzahl der Lösungen der Gleichung (bei Berücksichtigung ihrer Vielfachheit) mit dem Grad n der Gleichung übereinstimmt. Erst über C kann man jede algebrai- sche Gleichung ( a n ≠ 0 und n º 1 ) a n x n + a n – 1 x n – 1 + … + a 1 x + a 0 = 0 mittels ihrer Lösung(en) x i in der Form a n ·(x – x 1 )·(x – x 2 )· … ·(x – x n ) = 0 , also mittels eines Produktes von a n und n Linearfaktoren an- schreiben, nicht jedoch über R . Dort könnte man die Gleichung nur in ein Produkt von linearen oder quadratischen Faktoren zerlegen; letztere stammen von den Paaren konjugiert komplexer Lösungen. 2. Ungleichungen mit einer Variablen Beim Lösen von Ungleichungen löst man vorab die zugehörige Gleichung oder beschreitet den (meist empfehlenswerten) graphischen Lösungsweg. Beispiel A Für weøche x * R giøt 2 x 4 + 5 x 3 + 4 x 2 + 5 x + 2 º 0? Lösung: Gemäß dem Satz von STURM müssen die Nuøøsteøøen der zugehörigen Funktion wegen M = 1 + 5/2 + 2 + 5/2 + 1 = 9 im Intervaøø [‒9; 9] øiegen. Aus der Figur øiest man ab: x 1 ≈ ‒2 und x 2 ≈ ‒1/2. Wie man øeicht nachrechnet, sind beide Lösungen sogar exakt. Die Lösungsmenge L der Ungøeichung øiegt dort, wo y º 0 ist, aøso øaut Figur bei L = ]‒ • ; ‒2] ± [‒1/2; • [. Bemerkung: Die Lösung hätte man auch rein aøgebraisch gewinnen können: Da die Gøeichung symmetrisch ist, øässt sie sich durch Sub­ stitution øösen. Dazu dividiert man sie durch x 2 , formt um zu  2 · ​ “  ​x​  2 ​+ ​  1 __  ​x​  2 ​ ​  § ​ + 5 · ​ “ x + ​  1 _ x ​  § ​ + 4 = 0 und setzt anschøießend x + 1/x = u und daher x 2 + 1/x 2 = u 2 – 2. Aus den Lösungen der so entstehenden quadratischen Gøeichung für u gewinnt man durch Resubstitution x 1 = ‒2 und x 2 = ‒1/2. Dann testet man für die Intervaøøe ]‒ • ; ‒2], ]‒2; ‒1/2] und ]‒1/2; • [, ob dort y º 0 giøt. Dabei genügt es , jeweiøs nur einen Testpunkt pro Intervaøø zu verwenden! 3. (Systeme von) Gleichungen mit mehreren Variablen Die Lösungsmenge einer Gleichung f (x 1 , x 2 , … , x n ) = 0 mit n Variablen besteht nicht mehr aus Zahlen, sondern aus geordneten n-tupeln von Zahlen (mehrdimensionalen Zahlen), die wir jede als Zeilen- oder Spaltenvektor schreiben können. Geometrisch gesehen entspricht jeder Lösung ein Punkt im R n , der Lösungsmenge eine gewisse Teilmenge des R n . Im Fall einer linearen Gleichung mit zwei Variablen besteht die Lösungsmenge (im Allgemeinen) aus den Punkten einer Geraden im R 2 , im Fall einer quadratischen Gleichung mit zwei Variablen (im Allge- meinen) aus den Punkten einer Kegelschnittslinie im R 2 . x y 1 0 1 A  765 K  I.3 Nur zu Prüfzwecken – Eigentum de Verlags öbv