Reichel Mathematik 8, Schulbuch

199 I.4 Abbildungsgeometrie I 745 a Fasse (in Form eines Referates) die Invarianten einer Abbiødung (wie „Längentreue“, „Winkeøtreue“ usw.) und die zugehörigen Berechnungsformeøn („Distanzformeø“, „VW-Formeø“ usw.) zusammen! b Gib an, weøche Invarianten eine 1 Schiebung, 2 Drehung, 3 Spiegeøung im R 2 besitzt! Begründe! 746 Verifiziere durch Transformation des Einheitsquadrates A (0 1 0), B (1 1 0), C (1 1 1), D (0 1 1), dass die durch die foøgenden Abbiødungsgøeichungen festgeøegte Abbiødung R 2 ¥ R 2 foøgende Eigenschaften besitzt: 1 Sie verdoppeøt bzw. verdreifacht die Føächeninhaøte, 2 sie ist nicht øängentreu, 3 sie ist nicht winkeøtreu, 4 sie führt paraøøeøe Geraden in paraøøeøe Geraden über! Ermittøe 5 die Koordinaten des Fixpunktes und 6 die Gøeichung der Fixgeraden der Abbiødung! a x 1 = 3 x + y b x 1 = 2 x + 2y c x 1 = x + 2 y d x 1 = ‒ x + 2 y y 1 = x + y y 1 = 2 x + y y 1 = ‒x + y y 1 = ‒2 x + y 747 Durch die so genannte Inversion z 1 = 1/ _ zwird in der GAUSS ’ schen Zahøenebene (abgesehen vom Ur- sprung) jeder Punkt z = a + bi auf den Punkt z 1 = 1/(a – bi) abgebiødet. 1 Zeichne in der GAUSS‘schen Zahøenebene den Einheitskreis † z † = 1 und den zu z = 3 + 4 i gehörigen Biødpunkt! Gib Urbiød und Biød in Poøarkoordinaten an! Erkøäre daran den Namen „Inversion“ am Einheitskreis! 2 Durch Inversion wird jeder durch den Ursprung gehende Kreis auf eine Gerade abgebiødet. Ermittøe eine Gøeichung der Biød geraden des Kreises k: (x – r) 2 + y 2 = r 2 in Abhängigkeit von r! Skizziere Kreis und Gerade für r = 2, r = 0,5 und r = 0,25! (Vgø. auch den Exkurs zu Kap. 1 in Buch 7. Kø.!) 748 Besonders wichtig sind die foøgenden Kongruenzabbiødungen im R 3 : Die Schiebung (Transøation), die Spiegeøung (an einem Punkt bzw. einer Geraden bzw. einer Ebene), die Drehung (um einen Punkt bzw. um eine Gerade) und die Schraubung (vgø. Buch 7. Kø. S. 218). a Skizziere die Wirkungsweise dieser Ab biødungen, indem du ein Dreieck abbiødest! b Überøege, ob es Fixeøemente gibt, dh. Teiømengen des R 3 , die bei der jeweiøigen Abbiødung 1 punktweise, 2 aøs Ganzes fest bøeiben! 749 Zeige: Die angegebene Abbiødung transformiert das Einheitstetraeder A (0 1 0 1 0), B (1 1 0 1 0), C (0 1 1 1 0), D (0 1 0 1 1) in ein ebenes Viereck. 1 Bestimme eine Gøeichung der Trägerebene dieses Vierecks! 2 Ermittøe die Seitenøängen und Innenwinkeø des Vierecks! a x 1 = 2 x + 4 z b x 1 = 3 x + y + z y 1 = ‒x + y + 2 z y 1 = x + 2 z z 1 = y + 4 z z 1 = y – 5 z 750 Transformiere den Einheitswürfeø A (0 1 0 1 0), B (1 1 0 1 0), C (1 1 1 1 0), D, E (0 1 0 1 1), F, G, H mitteøs der gegebenen Transformation. 1 Weøcher „Körper“ entsteht? Beweise deine Vermutung! 2 Berechne das Voøumen dieses „Körpers“! a x 1 = x – z b x 1 = 2 x + y y 1 = y y 1 = x + z z 1 = ‒x + 2 z z 1 = ‒x – z 751 Durch die foøgenden Abbiødungsgøeichungen wird ein Punkt P (x 1 y 1 z) auf den Punkt P 1 (x 1 1 y 1 1 z 1 ) abgebiødet. Zeige, dass es sich bei der Abbiødung um einen Schrägriss mit dem Verzerrungswinkeø α = 45° und dem Verkürzungsverhäøtnis 1/ 9 __ 2handeøt! Skizze! x 1 = 0 y 1 = y – x/2 z 1 = z – x/2 752 1 Leite in Veraøøgemeinerung von Aufg. 751 die Abbiødungsgøeichungen für einen Schrägriss mit dem Verzerrungswinkeø α und dem Verkürzungsverhäøtnis 1/k her! 2 Ersteøøe anhand von 1 ein Computer programm, weøches zu vorgegebenem Winkeø und Verkürzungsverhäøtnis den Schrägriss eines Poøyeders berechnet und graphisch darsteøøt! 160197-199 Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv