Reichel Mathematik 8, Schulbuch

197 I.4 Abbildungsgeometrie I 4. Beschreibung von (Dreh-)Streckungen im R 2 mit Zentrum im Nullpunkt Wird der Punkt X š z = r·(cos φ + i·sin φ ) einer Streckung mit dem Streckfaktor λ aus dem Nullpunkt unterworfen, so ändert sich nur der Betrag r , nicht aber das Argument φ : z 1 = λ ·z = ( λ ·r)·(cos φ + i·sin φ ) Für λ > 1 liegt eine zentrische Streckung im eigentlichen Sinn vor, für λ = 1 die identische Abbildung , für 0 < λ < 1 eine zentrische Stauchung , für λ < 0 eine zentrische Streckung (Stauchung), die mit einer zentrischen Spiegelung ( λ = ‒1 ) am Nullpunkt kombi- niert ist. Die Kombination einer Streckung mit einer Drehung (in beliebiger Reihenfolge) liefert eine Drehstreckung : z 1 = λ ·w·z = λ ·(cos δ + i·sin δ )·r·(cos φ + i·sin φ ) , also z 1 = ( λ ·r)·(cos ( φ + δ ) + i·sin ( φ + δ )) Wie kann man Abbiødungen behandeøn, bei denen der Nuøøpunkt nicht das Zentrum ist? Wieder hilft eine geeignete Kombination von „Grundabbildungen“: Beispiel E Der Punkt P (2 1 1) soøø im Uhrzeigersinn durch 30° um den Punkt Z (5 1 ‒3) gedreht werden! Lösung: Da wir nur Gøeichungen für die Drehung um O kennen, verschieben wir P š z P und Z š z Z beide um _ À  s= ‒z Z so, dass Z’ = O, drehen dort um den Winkeø δ = ‒30° š 330° und schieben dann wieder aøøes zurück: P’ = P + _ À  s š (2 + i) + (‒(5 – 3 i)) = ‒3 + 4 i P’ 1 = P’ · w š (‒3 + 4 i) · (cos 330° + i · sin330°) = = (‒3 + 4 i) · ( 9 _ 3/2 – 1/2 · i) ≈ ‒0,598 + 4,964 · i P 1 = P’ 1 – _ À  s š (‒0,598 + 4,964 · i) – (‒(5 – 3 i)) = = 4,402 + 1,964 · i š (4,402 1 1,964) Mit der rechnerischen Behandlung geometrischer Probleme geht gewissermaßen eine Entgeometrisie- rung zugunsten einer stärkeren Arithmetisierung und Algebraisierung der Mathematik einher. Ein Punkt ist nun nicht mehr im Sinne von EUKLID „etwas, was keine Teile hat“, sondern ein geordnetes n -tupel von Zahlen, eine (gerade) Linie nicht mehr „etwas, was keine Dicke hat“, sondern eine Punkt- menge, deren Punkte Koordinaten besitzen, die einer bestimmten (linearen) Gleichung genügen. Die Auswirkungen dieses Umdenkens sind nicht zu übersehen: Einerseits schafft man dadurch die Möglich- keit, geometrische Probleme durch Berechnungen am Computer zu lösen, und andererseits auch die Möglichkeit der Behandlung von Geometrien in Räumen, die wir uns aufgrund ihrer Dimension (vgl. Buch 6. Kl. S. 66f) oder ihrer Eigenschaften nicht oder nur sehr schwer vorstellen können. Insofern erweitert die Mathematik die Möglichkeiten, reale Probleme und auch solche in (vorläufig?) hypotheti- schen Wirklichkeiten zu lösen. 732 Unterwirf unter Verwendung kompøexer Zahøen das angegebene Dreieck der gegebenen Schiebung! a A (0 1 4), B (5 1 0), C (6 1 3), _ À  s= (2 1 ‒3) b A (‒3 1 0), B (0 1 4), C (‒4 1 5), _ À  s= (2 1 ‒1) 733 Was kann man über den kompøexen Schiebungsoperator _ À  saussagen, wenn die Schiebung a paraøøeø zur y-Achse, b paraøøeø zur x-Achse, c paraøøeø zur 1. Mediane, d paraøøeø zur 2. Mediane erfoøgt? Fig. I.5 0 z y š Im(z) x š Re(z) X 1 š X š z 1 = z . λ . w 1 i δ δ φ r r . | λ . w| λ . w w F I.5 x y 1 0 1 P I P 1 I P 1 Z Z I P K II A 747 Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv