Reichel Mathematik 8, Schulbuch

196 Geometrie I 1. Beschreibung von Schiebungen im R 2 Bei einer Parallelverschiebung („Schiebung“) der Ebene wird – wie du weißt – jeder Punkt P der Ebene in einer gewissen orien- tierten Richtung um eine gewisse Länge verschoben . Rein rech- nerisch lässt sich diese „Bewegung“ (geometrische Transfor­ mation) durch einen Vektor ​ ​ _ À  s​= (x s 1 y s ) darstellen und damit die Transformation (zB für einen Computer) auf mehrfache Weise be- schreiben: „Aus jedem alten Punkt X mache einen neuen Punkt X 1 gemäß X 1 = X + ​ ​ _ À  s​ .“ Mittels kartesischer Koordinaten: (x 1 1 y 1 ) = (x 1 y) + (x s 1 y s ) Mittels komplexer Zahlen: z 1 = z + s mit z 1 , z , s * C Man sieht: Schiebungen lassen sich durch Addition von Vektoren oder komplexen Zahlen „algebraisch“ beschreiben. 2. Beschreibung von Drehungen im R 2 um den Nullpunkt Auch Drehungen der Ebene um den Nullpunkt (Ursprung) O durch den Winkel δ können mittels komplexer Zahlen „algebraisch“ be- schrieben werden. Der Schlüssel ist die GAUSS’sche Zahlenebene und die Multiplikation komplexer Zahlen in Polardarstellung. Er- innern wir uns: Für z 1 = (r 1 1φ 1 ) und z 2 = (r 2 1φ 2 ) ist z 1 ·z 2 = r 1 ·r 2 ·(cos ( φ 1 + φ 2 ) + i·sin ( φ 1 + φ 2 )) Ist insbesondere † z 2 † = 1 , so ergibt sich: z 1 ·z 2 = r 1 ·(cos ( φ 1 + φ 2 ) + i·sin( φ 1 + φ 2 )) Dh. z 1 wird mit z 2 multipliziert, indem man den Ortspfeil ​ ​ __ À  OX​ durch den Winkel φ 2 dreht . Übertragen auf unser Problem heißt dies : Die Drehung des Punktes X š z = r·(cos φ + i·sin φ ) in der (GAUSS’schen Zahlen-)Ebene um den Null- punkt O durch den orientierten Winkel δ kann rechnerisch durch Multiplikation mit dem sogenannten Drehoperator w = cos δ + i sin δ erledigt werden und ergibt für den Bildpunkt X 1 : z 1 = r·(cos ( φ + δ ) + i·sin ( φ + δ )) 3. Beschreibung von Spiegelungen im R 2 an einer Geraden durch den Nullpunkt Die Spiegelung eines Gebietes führen wir punktweise durch. Die Spiegelung eines Punktes X š z = r·(cos φ + i·sin φ ) an der Spiegelachse a durch den Nullpunkt lässt sich gemäß Fig. I.4 durch eine geeignete Drehung ersetzen. Der Drehpunkt ist der Nullpunkt O . Der Drehwinkel ist 2·( α – φ ) , wobei α der Winkel zwischen der x-Achse und der Spiegelachse a ist. Erøäutere! Eingesetzt in die obige Formel für die Drehung erhält man: z 1 = z·w = r·(cos φ – i·sin φ )·(cos (2 α – 2 φ ) + i·sin (2 α – 2 φ )) , also z 1 = (r·cos (2 α – φ ) + i·sin (2 α – φ )) Fig. I.2 0 z s š s = x + y i s s . y š Im(z) x š Re(z) X 1 š X š z 1 F  I.2 Fig. I.3 0 z y š Im(z) x š Re(z) X 1 š X š z 1 = z . w 1 i w δ δ φ F  I.3 Fig. I.4 0 z y š Im(z) x š Re(z) X 1 š X š z 1 1 i α α φ – φ α – φ a Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv