Reichel Mathematik 8, Schulbuch

195 I.4 Abbildungsgeometrie I 730  Weøches Paar konjugierter Durchmesser schøießt den Winkeø α ein? a eøø: x 2 + 3 y 2 = 3; α = 120° b hyp: 2 x 2 – 3 y 2 = 3; α = 45° 731  Ermittøe die Gøeichung der durch den Punkt P gehenden Sehne der Eøøipse eøø bzw. Hyperbeø hyp, die durch den gegebenen Punkt haøbiert wird! a eøø: 9 x 2 + 16 y 2 = 144; P (1 1 1,5) b eøø: x 2 + 4 y 2 = 9; P (2 1 1) c eøø: 9 x 2 + 36 y 2 = 324; P (4 1 2) d eøø: 25 x 2 + 36 y 2 = 3600; P (4 1 5) e hyp: 3 x 2 – 4 y 2 = 24; P (2 1 3) f hyp: 16 x 2 – 9 y 2 = 144; P (5/8 1 7/6) g hyp: 4 x 2 – 49 y 2 = 784; P (49/8 1 21/4) h hyp: x 2 – 2 y 2 = 14; P (2 1 2) Abbildungsgeometrie Im Maschinenbau steht man oft vor der Aufgabe, kompli- zierte Bewegungen  1 durch technisch einfach zu realisie- rende Bewegungen wie zB Schiebungen (eines Kolbens in einem Zylinder) oder Drehungen (einer Kurbel) zu erzeu- gen (vgl. den Ellipsenzirkel  2 in Fig. I.1). In der Technik löst man diese Aufgabe im Allgemeinen „ad hoc“ anhand der in technischen Handbüchern aufgelisteten Lösungen ähnlicher Probleme. Die Geometrie hingegen sieht ihre Aufgabe darin, in systematischer Weise solche Bewegungen (allge- meiner: Abbildungen) zu untersuchen. Mathematik in ihrer Facette von Geometrie ist somit eine Wis- senschaft, die systematisch geometrische Probleme untersucht und löst, auch solche, die im Moment noch keine unmittelbare Anwendung und damit keinen unmittelbaren Nutzen haben. Wie die Ge- schichte lehrt, haben aber viele dieser Überlegungen und Erkenntnisse zu einem späteren Zeitpunkt ihre Nützlichkeit unter Beweis stellen können (denke etwa an die Computertomographie ). Bei der systematischen Untersuchung solcher Abbildungen beginnt man mit den einfachsten Abbildun- gen. Es sind dies die (affin) linearen Abbildungen, die (ähnlich dem Fotografieren) von Objekten (Ab-) Bilder erzeugen, in denen Punkte wieder als Punkte und Geraden wieder als Geraden (bzw. Punkte) er- scheinen. (Dass dies nicht selbstverständlich ist, zeigt Buch 7. Kl. S. 223 unter dem Stichwort ebene Pola- rität .) Von Interesse ist dabei, für welche Elemente das Urbild mit dem Bild (punktweise oder nur als Ganzes) zusammenfällt, also die Frage nach den Fixelementen der Abbildung , und ebenso die Frage nach den Invarianten der Abbildung, dh., nach jenen Eigenschaften (des Urbildes), die im Zuge der Ab- bildung erhalten bleiben (sich im Bild unverändert wiederfinden). Erkøäre und gib Beispieøe ! Bei der Behandlung (affin) linearer Abbildungen kann man sowohl konstruktiv als auch rechnerisch vorgehen. Rechnerisch gesehen lässt sich jede (affin) lineare Abbildung mittels eines Systems linearer Gleichungen (daher der Name) zwischen den Koordinaten des Urbildpunktes und denen des Bildpunk- tes beschreiben. Im R 2 lassen sich diese Gleichungen unter Verwendung von komplexen Zahlen vielfach – wie im Folgenden – kürzer anschreiben und einfacher bearbeiten. Durch Hintereinanderausführung zweier (affin) linearer Abbildungen entsteht stets wieder eine lineare Abbildung . Zur Erzeugung beliebiger (affin) linearer Abbildungen genügt es, sich mit Schiebungen, Drehungen, Spiegelungen und Streckungen zu beschäftigen.  1 Gemeint sind hier Ortsveränderungen ohne jede Formveränderung, also Kongruenzabbildungen .  2 Der in Fig. I.1 gezeigte Mechanismus kombiniert eine Drehung ( M’ längs m um M ) mit einer Schiebung ( X’ in einer Nut-Strecke) und erzwingt, dass sich C’ längs der Ellipse c bewegt. Neben dem gewöhnlichen Kreiszirkel gibt es also auch Ellipsenzirkel . I.4 Fig. I.1 c x m O C I X I M M I S  111f A  747 A  746 A  748 A  745 A  742 Nur zu Prüfzwecken – Eigentum d s Verlags öbv