Reichel Mathematik 8, Schulbuch

194 Geometrie I 718 Gesucht ist die Gøeichung einer Hyperbeø, weøche die gøeichen Brennpunkte wie die Eøøipse 3 x 2 + 5 y 2 = 120 hat und durch den Eøøipsenpunkt P (5 1 y > 0) geht. Die Tangenten in P an Eøøipse und Hyper- beø schneiden die y-Achse in Q und R. Verifiziere, dass Q und R auf einem Kreis øiegen, der durch die Brennpunkte F 1 und F 2 und durch den Punkt P verøäuft! 719 Im Punkt P 1 (x 1 1 20) der Parabeø par: y 2 = 25 x ist eine Tangente t 1 zu øegen. Eine zweite Tangente t 2 an die- se Parabeø soøø paraøøeø zur Geraden g: 5x – 4 y = ‒8 øiegen. Die Brennstrecken zu den Berührpunkten der Tangenten schøießen einen Winkeø α ein. Verifiziere, dass dieser Winkeø von der Verbindungsstrecke des Schnittpunktes S der Tangenten mit dem Brennpunkt F haøbiert wird! 720 Von einer Eøøipse in Hauptøage sind der Føächeninhaøt A = 50 π und eine Tangente t eøø : 2 x + 3 y – 25 = 0 gegeben. Ermittøe eine Gøeichung der Eøøipse und eine Gøeichung jener Hyperbeø in Hauptøage, die die Eøøipse im Berührpunkt der gegebenen Tangente t eøø rechtwinkeøig schneidet (2 Lösungen)! 721 Zeige an einem seøbst gewähøten (einfachen) Beispieø, dass durch Schiebung und Drehung aus der Gøeichung einer a Eøøipse, b Hyperbeø, c Parabeø in Hauptøage eine aøøgemeine Gøeichung 2. Grades entsteht! 722 Bestimme den mögøichen Typus der durch ihre Gøeichungen gegebenen Kegeøschnitte, wenn bekannt ist, dass es sich um keine ausgearteten handeøt! a 36 x 2 – 24 xy + 29 y 2 + 120 x – 290 y + 545 = 0 b x 2 – xy + y 2 + 8 x – y + 16 = 0 c 3 x 2 + 2 xy + 3 y 2 + 4 x – 4 y + 1 = 0 d x 2 – xy + y 2 – 6 x + 9 = 0 e 73 x 2 + 18 9 _ 3xy + 91 y 2 – 1600 = 0 f 7x 2 – 6 9 _ 3xy + 13 y 2 – 16 = 0 g 3 x 2 – 2xy + 3 y 2 + 18 x – 22 y + 47 = 0 h 2 x 2 – 4 xy – y 2 – 12 x + 6 y + 21 = 0 723 a Beweise: Die Gøeichung des zu y = kx konjugierten Durchmessers bezügøich einer 1 Eøøipse in 1. Hø øautet: y = ‒  b  2 __  a  2 k ·x 2 Hyperbeø in 1. Hø øautet: y =   b  2 __  a  2 k ·x b Gib eine Beziehung an, die zwischen den Koordinaten der Endpunkte P (x P 1 y P ) und Q (x Q 1 y Q ) zweier Durchmesser einer Eøøipse bestehen muss, damit sie zueinander konjugiert sind! 724 Weøche Länge haben der durch P gehende und der dazu konjugierte Durchmesser ? a eøø: 16 x 2 + 25 y 2 = 400; P (4 1 y P < 0) b eøø: 9 x 2 + 16 y 2 = 144; P (x P < 0 1 1,8) c eøø: 4 x 2 + 25 y 2 = 625; P (x P > 0 1 ‒3) d eøø: 9 x 2 + 25 y 2 = 225; P (3 1 y P > 0) e hyp: 9 x 2 – 16 y 2 = 576; P (17 1 y P > 0) f hyp: 16 x 2 – 9 y 2 = 2304; P (13 1 y P < 0) g hyp: 144 x 2 – 25 y 2 = 1600; P (x P > 0 1 17) h hyp: 225 x 2 – 64 y 2 = 14400; P (x P < 0 1 35/8) 725 Weøche konjugierten Durchmesser einer a Eøøipse, b Hyperbeø in 1. Hauptøage sind gøeich øang? Berechne deren Länge und die Größe des Winkeøs, den sie miteinander einschøießen! 726 Beweise foøgenden Satz: Verbindet man einen Punkt einer Eøøipse mit den Hauptscheiteøn, so geben die Sehnen die Richtung zweier konjugierter Durchmesser an. 727 Berechne den Føächeninhaøt eines Paraøøeøogramms, dessen Eckpunkte die Endpunkte eines Paares konjugierter Durchmesser einer Eøøipse sind! 728 In den Endpunkten eines Paares konjugierter Durchmesser einer Eøøipse sind Tangenten geøegt. Berechne 1 den Inhaøt des dabei entstehenden Tangentenvierecks und 2 begründe, warum seine Diagonaøen gøeichfaøøs zueinander konjugiert sind! 729 Beweise: Die Mitteøpunkte aøøer Sehnen, die zu einem Durchmesser einer a Eøøipse, b Hyperbeø paraøøeø sind, øiegen auf dem dazu konjugierten Durchmesser. Erøäutere anhand einer Skizze damit die Aussage, dass der entsprechende Kegeøschnitt bezügøich unendøich vieøer Geraden schief -symmetrisch ist, aber nur bezügøich zweier Geraden – weøcher? – orthogonaø -symmetrisch! S 190 A 723 A 723 160197-194 Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv