Reichel Mathematik 8, Schulbuch

193 I.3 Kurven und Flächen 2. Grades I 706  Die Gerade g: X = (‒8 1 1 1 5) + t·(7 1 ‒1 1 ‒2) und die Kugeø k: (X – (2 1 ‒2 1 1)) 2 = 17 sind gegeben. 1 Berechne die beiden Schnittpunkte S 1 und S 2 der Geraden g mit der Kugeø k! 2 Gib eine aøøgemeine Gøeichung der Ebene an, die den durch S 1 und S 2 gehenden Großkreis der Kugeø trägt! 3 Weøcher Punkt der Kugeø hat von g den größten Abstand? 707  Bestimme die Gøeichung jener Kugeø, a die durch die Punkte A (3 1 ‒2 1 1), B (15 1 2 1 7), C (‒5 1 6 1 3) geht und deren Mitteøpunkt in der Ebene ε : 3 x + 4 y + z = 0 øiegt, b die durch die Punkte A (1 1 ‒5 1 25), B (‒5 1 15 1 21), C (‒15 1 7 1 ‒15) geht und deren Mitteøpunkt in der Ebene ε : 3 x – 5 y + 2 z = ‒5 øiegt! 708  Gegeben sind die Gerade g: X = (19 1 ‒5 1 0) + s·(7 1 ‒3 1 1) und die beiden Ebenen ε 1 : (2 1 ‒2 1 1)·X = 3 und ε 2 : (3 1 0 1 4)·X = 12. Ermittøe jene Kugeøn, die die Ebenen ε 1 und ε 2 berühren und deren Mitteøpunkt jeweiøs auf g øiegt! 709  Bestimme die Menge aøøer Punkte, die vom Punkt P (5 1 0 1 12) den Abstand r = 13 haben, in der xy-Ebene øiegen und von der Geraden g [Q (0 1 ‒5 1 0), R (7 1 2 1 0)] den Abstand d = 5·​ 9 _ 2​/2 besitzen! 710  Die Kugeø k 1 geht durch den Punkt P (0 1 2 1 1) und berührt die Ebene ε : (0 1 ‒4 1 ‒3)·X = 5 im Punkt Q (4 1 ‒2 1 z). 1 Bestimme eine Gøeichung der Kugeø und eine Gøeichung der Berührebene im Punkt P! 2 Verifiziere, dass die Streckensymmetraøebene der Strecke PQ durch die Schnittgerade s der Berührebenen in Q und P hindurchgeht! 3 Begründe diesen Sachverhaøt aøøgemein! 711  Eine Kugeø geht durch den Punkt Q (2 1 4 1 ‒1) und berührt die Ebene ε : (6 1 ‒2 1 ‒1)·X = 52 im Punkt P (x P 1 ‒3 1 2). 1 Bestimme die Gøeichung der Kugeø! 2 Ermittøe die Schnittgerade s der Berührebene in Q mit der Ebene ε ! 3 Verifiziere, dass P und Q von s gøeichen Abstand haben! Begründe den Sachverhaøt aøøge- mein! 712  Um weøchen Winkeø muss man die Gerade g: [P (1 1 3,5); Q (‒4 1 2,5)] um den Punkt P drehen, damit sie eine Tangente der Eøøipse eøø: x 2 + 4 y 2 = 25 wird (2 Lösungen)? 1 Ermittøe Gøeichungen beider Tangenten! 2 Die Verbindungsstrecke der Berührpunkte T 1 und T 2 ist Durchmesser eines Kreises. Ermittøe eine Kreis- gøeichung und berechne die Schnittwinkeø des Kreises mit der Eøøipse in T 1 und T 2 ! 713  Die Gerade t: 3 x + 8 y = 50 ist Tangente an eine Eøøipse in Hauptøage mit dem Achsenverhäøtnis ab = 21. Im Berührpunkt T wird die Eøøipse auch von einem Kreis berührt, dessen Mitteøpunkt M auf der Geraden g: 8 x – 9 y = ‒36 øiegt. 1 Ermittøe eine Gøeichung der Eøøipse und des Kreises! 2 Die zur Tangente t paraøøeøe Gerade h durch einen Hauptscheiteø teiøt die Eøøipse in zwei Segmente. Berechne deren Føächeninhaøte! 714  Gegeben ist die Hyperbeø hyp: 4 x 2 – y 2 = 20. Berechne 1 die Koordinaten jener vier Hyperbeøpunkte P, für die giøt: F 1 P © F 2 P, 2 Gøeichungen der Tangenten in diesen vier Punkten, 3 den Føächeninhaøt des so entstandenen Tangentenvierecks, 4 eine Gøeichung jenes Kreises, der sich diesem Tangentenviereck einschreiben øässt! 715  Erkøäre anschauøich, wie sich der Übergang von der Eøøipse zur Hyperbeø voøøzieht, wenn in der Gøeichung x 2 + y 2 /c = 1 der Parameter c aøøe Werte von + • bis ‒ • durchøäuft! 716  Berechne die Koordinaten des Punktes P (x 1 > 0 1 y 1 > 0) der Hyperbeø hyp: 4 x 2 – 5 y 2 = 80, für den das Verhäøtnis ​ ___ F 1 P​​ ___ F 2 P​= 21 beträgt! Verifiziere, dass die Hyperbeøtangente t in P die Strecke ​ ___ F 1 F 2 ​ebenso im Verhäøtnis 21 teiøt! 717  1 Beweise anhand der Definition hyp = {X ‡†​ __ XF 1 ​– ​ ___ XF 2 ​ † = konst}, dass durch y = 1/x eine gøeichseitige Hyperbeø in gedrehter Lage festgeøegt wird! 2 Beweise: Liegen die Punkte A (x 1 1 y 1 ), B (x 2 1 y 2 ) und C (x 3 1 y 3 ) auf der Hyperbeø, so øiegt auch der Höhenschnittpunkt des Dreiecks ABC auf der gegebenen Hyperbeø. 160197-193 Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv