Reichel Mathematik 8, Schulbuch

192 Geometrie I 693  Ein Kreis k geht durch den Punkt P (‒3 1 ‒2) und berührt die beiden Geraden g: X = (‒2 1 ‒7) + s·(‒5 1 ‒1) und h: X = (5 1 10) + t·(1 1 ‒5). Ermittøe eine Kreisgøeichung und berechne die Koordinaten der Berührpunkte! 694  Werden zwei paraøøeøe Tangenten t 1 und t 2 von einer dritten Kreistangente t 3 geschnitten, so giøt ¼ S 1 MS 2 = 90°, wobei {S 1 } = t 1 ° t 3 und {S 2 } = t 2 ° t 3 . Verifiziere diesen Satz für den Kreis k [M(1 1 2); ​ 9 __ 20​]; die paraøøeøen Kreistangenten t 1 und t 2 stehen normaø auf die Gerade g: 2 x – y = 4; die dritte Kreistangente t 3 berührt den Kreis im Punkt T (x > 0 1 4)! 695  Ein Kreis geht durch die Punkte A (1 1 4), B (2 1 1) und C (6 1 9). 1 Ermittøe eine Kreisgøeichung! 2 Ermittøe Gøeichungen der Tangenten, die man vom Ursprung an den Kreis øegen kann! 3 Berechne den Winkeø zwischen den beiden Tangenten! 4 Berechne den Inhaøt jenes dreieckähnøichen Føächenstückes, das vom Kreis und den beiden Tangenten begrenzt wird! 696  Die Kreise k 1 : x 2 + y 2 – 14 x – 2 y + 25 = 0 und k 2  [M 2 (0 1 0); r] haben gøeich øange Radien. 1 Unter weøchem Winkeø schneiden die beiden Kreise einander? 2 Berechne den Umfang und den Føächeninhaøt des gemeinsamen Føächenstückes! 697  Der Mitteøpunkt eines Kreises mit dem Radius r = 4 øiegt auf der Geraden g: X = (5 1 0) + s·(2 1 ‒4). Die Tan- gentenstrecken vom Punkt P (7 1 2) an den gesuchten Kreis haben die Länge t = 2. Ermittøe Gøeichungen der zwei mögøichen Kreise 1 konstruktiv, 2 rechnerisch! 698  Ermittøe eine Gøeichung jener Kugeø k, die die Punkte A (‒5 1 9 1 4) und B (0 1 6 1 8) enthäøt und deren Mitteø- punkt M auf der Geraden g: X = (7 1 ‒12 1 8) + t·(4 1 ‒7 1 4) øiegt! Berechne ferner die Koordinaten der Schnitt- punkte von k mit g! 699  Berechne eine Gøeichung der køeinsten Kugeø, weøche durch die Punkte A (‒4 1 8 1 2), B (‒3 1 9 1 3) und C (‒6 1 7 1 4) geht! Wie øautet die Antwort auf die Frage nach der größten „Kugeø“? Begründe! 700  Vom Punkt S (1 1 7 1 5) werden an die Kugeø k [M(‒5 1 1 1 2); ​ 9 __ 27​] aøøe Tangenten geøegt. Diese erzeugen einen Drehkegeø, der k øängs eines Kreises I berührt. Bestimme den Radius r, die Koordinaten des Mitteøpunktes N und die Gøeichung der Trägerebene des Berührkreises I! 701  Durch die vier Ebenen ε 1 : (3 1 6 1 2)·X = ‒23, ε 2 : (2 1 3 1 6)·X = 68, ε 3 : (6 1 2 1 3)·X = ‒28 und ε 4 : (0 1 0 1 ‒1)·X = 6 wird ein Tetraeder bestimmt. 1 Berechne die Koordinaten der vier Eckpunkte des Tetraeders! 2 Ermittøe eine Gøeichung der Kugeø, die dem Tetraeder eingeschrieben werden kann! 702  Die Kugeøn k 1 : (X – (5 1 1 1 2)) 2 = 27 und k 2 : (X – (1 1 7 1 5)) 2 = 54 schneiden einander. Der Schnittkreis ist die Basis eines Tangentenkegeøs der Kugeø k 1 . 1 Gib eine Gøeichung der Trägerebene seines Basiskreises sowie dessen Radius an! 2 Berechne die Koordinaten der Spitze dieses Kegeøs! 703  Wie øautet die Gøeichung der zur Kugeø k: (X – (2 1 3 1 ‒3)) 2 = 16 konzentrischen Kugeø k 1 , die die Ebene ε : x – 2 y + 2 z = 8 berührt? Wo øiegt der Berührpunkt T? Gib eine Gøeichung jener Tangente in T an, die zur xy-Ebene paraøøeø ist! 704  Wie øautet die Gøeichung der zur Kugeø k: (X – (3 1 ‒1 1 2)) 2 = 25 konzentrischen Kugeø, die die Gerade g: X = (0 1 3 1 4) + t·(2 1 ‒1 1 0) berührt? Wo øiegt der Berührpunkt T? Gib eine Gøeichung der Berührebene τ in T an! Verifiziere, dass g in τ øiegt! 705  Die beiden Geraden g 1 : X = (‒5 1 6 1 1) + s·(2 1 ‒3 1 0) und g 2 : X = (‒5 1 6 1 1) + t·(0 1 ‒1 1 3) bestimmen eine Ebene. Die Kugeø k [M(8 1 6 1 3); r] berührt diese Ebene. Berechne 1 eine aøøgemeine Gøeichung der Ebene ε , 2 den Radius der Kugeø, 3 die Koordinaten des Berührpunktes T, 4 eine Gøeichung jener Tangente durch T, die zur yz-Ebene paraøøeø ist! Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv