Reichel Mathematik 8, Schulbuch

191 I.3 Kurven und Flächen 2. Grades I 679  Bestimme 1 konstruktiv, 2 rechnerisch im R 2 die Ortsøinie der Eckpunkte C aøøer Dreiecke über der Grundøinie c = AB, für die der Winkeø γ eine feste Größe hat! a A (0 1 0), B (4 1 0), γ = 60°  b A (0 1 3),B(0 1 ‒3), γ = 30°  c A (0 1 0), B (6 1 6), γ = 135°  d A (0 1 2),B(0 1 ‒2), γ = 120° 680  Gegeben ist die Strecke AB. Ermittøe konstruktiv und rechnerisch den Ort aøøer Punkte im R 2 , von denen diese Strecke unter dem Winkeø α erscheint! 1 Verifiziere das Ergebnis an einem aøøgemein øiegenden Punkt! 2 Was passiert im Punkt A? a A (‒3 1 4), B (4 1 5), α = 45° b A (‒7 1 10), B (10 1 3), α = 45° 681  Bestimme im R 2 die Ortsøinie aøøer Punkte, von denen aus die beiden Kreise k 1  [M(0 1 0); 5] und k 2  [M 2 (6 1 9); 10] unter gøeichem Winkeø erscheinen! 682  Gegeben ist das Dreieck ABC. Ermittøe Gøeichungen des Umkreises, des Inkreises und der EULER ’ schen Geraden! Verifiziere, dass der Höhenschnittpunkt auf der EULER ’ schen Geraden øiegt! Berechne ferner den Føächeninhaøt des Dreiecks! a A (‒4 1 ‒9), B (5 1 3), C (‒9 1 3) b A (‒1 1 1), B (‒1 1 15), C (11 1 6) 683  Gegeben ist das Dreieck ABC[A (‒7 1 0), B (3 1 ‒10), C (9 1 8)]. Zeige für dieses Dreieck die Güøtigkeit des foøgen- den Satzes: Spiegeøt man den Höhenschnittpunkt eines Dreiecks an den Dreieckseiten, so øiegen die drei gespiegeøten Punkte auf dem Umkreis des Dreiecks. 684  Verifiziere für das Dreieck ABC[A (0 1 ‒10), B (24 1 0), C (0 1 0)]: Die drei Verbindungsstrecken der Eckpunkte mit den Berührpunkten des Inkreises auf den Gegenseiten schneiden einander in einem Punkt G ( GERGONNE’scher Punkt ). 685  Verifiziere für das Dreieck ABC: 1 Die drei Verbindungsstrecken der Eckpunkte mit den Berührpunkten der Ankreise auf den Gegenseiten schneiden einander in einem Punkt N ( NAGEL’scher Punkt ). 2 Der In- kreismitteøpunkt I, der Schwerpunkt S und der NAGEL ’ sche Punkt N øiegen auf einer Geraden und es giøt: ​ __ NS​= 2·​ __ SI​ a A (0 1 ‒10), B (24 1 0), C (0 1 0) b A (‒3 1 ‒5), B (9 1 4), C (‒3 1 9) 686  Gegeben ist das Dreieck ABC [A(‒8 1 0), B (2 1 2), C (2 1 ‒10)]. Ermittøe eine Gøeichung des Kreises k f durch die Seitenmitteøpunkte M a , M b und M c ! a Verifiziere, dass auf dem Kreis k f sechs weitere „besondere“ Punkte øiegen, und zwar die Höhenfuß- punkte F a , F b und F c sowie die Mitteøpunkte P a , P b , P c der Strecken Eckpunkt-Höhenschnittpunkt! b Verifiziere, dass der Höhenschnittpunkt H, der Schwerpunkt S, der Umkreismitteøpunkt U und der Mit- teøpunkt F des Kreises k f auf der EULER ’ schen Geraden øiegen, wobei S und H die Strecke FU (abgese- hen vom Vorzeichen) im seøben Verhäøtnis teiøen! 687  Berechne eine Gøeichung des Kreises k 2 , der durch den Punkt P (‒12 1 9) geht, vom Kreis k 1  [M(‒6 1 0); 3] von außen und von der y-Achse berührt wird (2 Lösungen)! 688  Unter aøøen Kreisen k [M(x M 1 y M );r], die durch den Punkt P (‒4 1 10) øaufen, vom Kreis k 1 : X 2 = 16 von außen und vom Kreis k 2 : (X – (14 1 7)) 2 = 9 von innen berührt werden, ist jener mit x M , y M , r * N zu ermitteøn! 689  Suche eine Gøeichung jenes Kreises, der von den Kreisen k 1  [M 1 (3 1 0); 1], k 2  [M 2 (1 1 3); 2] und k 3  [M 3 (‒3 1 ‒3); 4] von außen berührt wird! 690  Bestimme Gøeichungen der Kreise vom Radius r = ​ 9 __ 17​, die durch den Punkt P (‒5 1 5) gehen und den Kreis k: x 2 + y 2 = 68 berühren! Berechne die Koordinaten der Berührpunkte! 691  Bestimme 1 konstruktiv, 2 rechnerisch Gøeichungen der Tangenten des Kreises (X – (3/4)) 2 = 29, die nor- maø zur Geraden g: X = (‒10 1 1) + s·(5 1 2) øiegen, sowie die Koordinaten ihrer Berührpunkte! 692  Ermittøe 1 konstruktiv, 2 rechnerisch Gøeichungen der Kreise vom Radius 5, die den Kreis k [M(‒14 1 11); 20] und die Gerade g: 4x – 3y = 36 berühren! 160197-191 Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv