Reichel Mathematik 8, Schulbuch

190 Geometrie I Dieselben Überlegungen lassen sich auch im R 3 für Flächen 2. Grades anstellen. Nur erhalten wir dort statt der Tangente eine Tangentialebene und statt der Polaren eine Polarebene; auch der Hauptsatz der Polarentheorie (vgl. Buch 7. Kl. S. 223) lautet analog. Wenden wir den Hauptsatz auf eine Ellipse oder Hyperbel an und sind P und Q Fernpunkte, so sind de- ren Polaren p und q Durchmesser des Kegelschnitts. Man spricht in diesem Fall von einem Paar konju- gierter Durchmesser . (Bei der Parabel gibt es keine Paare konjugierter Durchmesser – Begründe! ) Wie man leicht überlegt, sind die Tangenten in den Endpunkten des einen Durchmessers parallel zum kon- jugierten Durchmesser. Daraus kann man dann zu einem gegebenen Durchmesser leicht den konjugier- ten Durchmesser konstruieren oder berechnen. Dass wir Kurven und Flächen 2. Grades (nur) in (meist 1.) Hauptlagen betrachteten, gründet darauf, dass sich diese Objekte dort durch besonders einfache Gleichungen beschreiben lassen:  eøø: b 2 x 2 + a 2 y 2 = a 2 b 2  hyp: b 2 x 2 – a 2 y 2 = a 2 b 2  par: y 2 = 2px Nur beim Kreis und bei der Kugel sind wir auch auf die allgemeine Lage ( M ≠ 0 ) eingegangen: Kreis im R 2 Kugel im R 3 Vektorform: (X – M) 2 = r 2 (X – M) 2 = r 2 Koordinatenform: (x – x M ) 2 + (y – y M ) 2 = r 2 (x – x M ) 2 + (y – y M ) 2 + (z – z M ) 2 = r 2 Beispiel C Der Kreis k = [M(13 1 0); 5] soøø von einer Parabeø par in erster Hauptøage berührt werden. Bestimme eine Gøeichung derseøben und die Berührpunkte! Lösung:  Die Berührpunkte T (x T 1 y T ) øiegen auf der Parabeø, dh.: y T 2 = 2p · x T , und auf dem Kreis, dh.: (x T – 13) 2 + y T 2 = 25. Ferner müssen in T die beiden Tangentensteigungen k par und k k gøeich sein: k: (x – 13) 2 + y 2 = 25 w 2 · (x – 13) + 2 yy’ = 0 w y’ = ‒(x – 13)/y w k k = y’ T = ‒(x T – 13)/y T par: y 2 = 2 p · x w 2 yy’ = 2p w y’ = p/y w k par = y’ T = p/y T Somit erhaøten wir aøs dritte Gøeichung p = ‒(x T – 13). Setzen wir die dritte Gøeichung in die Para- beøgøeichung ein und diese in die Kreisgøeichung, so ergibt sich: (x T – 13) 2 – 2 (x T – 13)·x T = 25 w x T 2 – 26 x T + 169 – 2 x T 2 + 26 x T = 25 w x T 2 = 144 w x T = ±12, wovon nur das positive Vorzeichen in Frage kommt. Aus p = ‒(x T – 13) = 1 erhäøt man die Parabeøgøeichung y 2 = 2 x und die Berührpunkte T 1 (12 1​ 9 __ 24​) und T 2 (12 1 ‒​ 9 __ 24​). Beispiel D 1 Schneide die Gerade g [A (2 1 ‒3 1 3), B (1 1 ‒2 1 5)] rechnerisch mit der Kugeø k [M(‒3 1 5 1 1); 9]! 2 Gib in den Schnittpunkten S 1 und S 2 von g mit k jeweiøs die Gøeichung der Berührebene τ 1 und τ 2 an! 3 Begründe, warum der Winkeø zwischen τ 1 und τ 2 gøeich groß ist wie der Winkeø S 1 MS 2 ! Berechne den Winkeø! Lösung: 1 g = [A, B]: X = A + t · (B – A) = (2 1 ‒3 1 3) + t · (‒1 1 1 1 2), t * R und k: (X – (‒3 1 5 1 1)) 2 – 81 = 0. Schneiden von g mit k ergibt: ((2 1 ‒3 1 3) + t · (‒1 1 1 1 2) – (‒3 1 5 1 1)) 2 – 81 = 0 ((5 1 ‒8 1 2) + t · (‒1 1 1 1 2)) 2 – 81 = 0 w (5 – t) 2 + (‒8 + t) 2 + (2 + 2 t) 2 – 81 = 0 w 6 t 2 – 18 t + 12 = 0 w t 1 = 1 bzw. t 2 = 2, und somit S 1 = (1 1 ‒2 1 5) und S 2 = (0 1 ‒1 1 7). 2 τ 1 : (X – (1 1 ‒2 1 5)) · (‒4 1 7 1 ‒4) = 0 w 4 x – 7y + 4 z = 38 und τ 2 : (X – (0 1 ‒1 1 7)) · (‒3 1 6 1 ‒6) = 0 w x – 2 y + 2 z = 16 3 Der Winkeø zwischen zwei Ebenen ist definiert aøs der Winkeø zwischen ihren Normaøvektoren, und MS 1 bzw. MS 2 sind Normaøvektoren der Tangentiaøebenen τ 1 und τ 2 . cos ¼ ( τ 1 , τ 2 ) = ​  ​ “  ​ ‒4  7   ‒4 ​ § ​ · ​ “  ​ ‒3  6  ‒6 ​  § ​ ______ 9 · 9  ​= 0,9630 w ¼ ( τ 1 , τ 2 ) = 15,64° 160197-190 Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv