Reichel Mathematik 8, Schulbuch

186 Geometrie I 656 Eine schiefe Pyramide mit der Spitze S (6 1 5 1 1) besitzt das Paraøøeøogramm A, B (2 1 2 1 ‒2), C (5 1 6 1 10), D (9 1 3 1 10) aøs Basis. 1 Die Basis ist ein „besonderes“ Paraøøeøogramm. Weøches? Führe den Nachweis rechnerisch! 2 Berechne die Höhe und das Voøumen der Pyramide! 3 Berechne den Neigungswinkeø der Seitenkante BS zur Basisebene! 657 Eine schiefe Pyramide mit der Spitze S (9 1 6 1 9) besitzt das Paraøøeøogramm A, B (5 1 3 1 0), C (4 1 10 1 12), D (‒3 1 9 1 0) aøs Basis. 1 Die Basis ist ein „besonderes“ Paraøøeøogramm. Weøches? Führe den Nachweis rechnerisch! 2 Berechne die Höhe und das Voøumen der Pyramide! 3 Berechne den Neigungswinkeø der Seitenkante BS zur Basisebene! 658 Von einem regeømäßigen Tetraeder kennt man die Trägergeraden g und h zweier gegenüberøiegender Kanten. Weøche Lage müssen diese Geraden zueinander haben? Prüfe nach, ob dies tatsächøich der Faøø ist! Berechne anschøießend die Koordinaten des Mitteøpunktes und das Voøumen des Tetraeders! g: X = (0 1 ‒1 1 ‒9) + s·(8 1 3 1 5), h: X = (17 1 ‒16 1 12) + t·(4 1 ‒9 1 ‒1) Trigonometrie In der 5. Klasse haben wir Winkel zunächst in rechtwinkeligen Dreiecken berechnet und damit die Defi- nitionen für die Winkelfunktionen gewonnen. Anschließend wurden diese Definitionen auf Winkel über 90° erweitert und Sätze über schiefwinkelige Dreiecke begründet. Schließlich wurde die VW-Formel hergeleitet, um den Winkel zwischen Vektoren bestimmen zu können. Beispiel B Ein Grundstück hat die Form eines Vierecks: a = 40,00 m, b = 30,00 m, c = 60,00 m, d = 20,00 m, α = ¼ (a, d) = 120,00° Berechne 1 die Länge der Diagonaøe f = BD und 2 den Føächen- inhaøt des Grundstückes! 3 Das Grundstück wurde vererbt und soøø unter den zwei Erben durch eine Paraøøeøe zur Seite a in zwei føächengøeiche Teiøe geteiøt werden. Berechne den Abstand h dieser Paraøøeøen von a! Lösung: 1 Wir wenden auf das Dreieck ABD den Cosinussatz an: f 2 = a 2 + d 2 – 2ad · cos α w f = 52,92 m 2 Den Føächeninhaøt A erhaøten wir aøs Summe der Føächeninhaøte von ¶ ABD und ¶ BCD, wobei wir die trigonometrische Føächenformeø verwenden; dazu müssen wir den Winkeø β 2 = ¼ (f, b) zuerst mit Hiøfe des Cosinussatzes berechnen (man könnte auch die HERON’sche Føächenformeø A = 9 ____________ s · (s – a) · (s – b) · (s – c)verwenden, da wir die drei Seiten kennen): c 2 = b 2 + f 2 – 2bf · cos β 2 w cos β 2 =   b  2 + f  2 – c  2 ______  2bf  w β 2 = 88,20° A =   ad __ 2  · sin α +   bf __ 2  · sin β 2 = 346,41 + 793,33 w A = 1139,74 m 2 3 A neu =   A _  2 =   a + c’ ____ 2  · h, wobei øaut Zeichnung c’ = a + c 1 + c 2 Es ist c 1 = h · tan α ’, wobei α ’ = α – 90° = 30° und c 2 = h · tan β ’, wobei β ’ = β – 90°. Der Winkeø β könnte mitteøs des Cosinussatzes berechnet werden, mit dem Sinussatz geht es aber schneøøer:   d ____  sin β 1 =   f ___  sin α w sin β 1 =   d · sin α _____  f  w β 1 = 19,11° w β = β 1 + β 2 = 107,30° w β ’ = 17,30° Somit erhaøten wir A = h · (a + h · tan β ’ + h · tan α ’ + a). Setzen wir tan β ’ + tan α ’ = k = 0,88885, so ergibt sich A = 2ah + kh 2 w kh 2 + 2ah – A = 0 w h 1,2 =   ‒a ± 9 ____ a  2 + Ak ________ k  w h = 12,51 m. (Die zweite Lösung der quadratischen Gøeichung ist geometrisch bedeutungsøos.) I.2 D c β β β α h C I c 2 B 2 1 a f A d c 1 c b I I Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv