Reichel Mathematik 8, Schulbuch

185 I.1 Punkt, Gerade und Ebene – Lineare Geometrie I 646  Die Eckpunkte A (1 1 0 1 z A ), B, C (4 1 3 1 z C ), D eines Würfeøs øiegen in der Ebene ε : 2 x – 2 y + z = 1. Berechne die Koordinaten der Eckpunkte und ermittøe, weøchen Abstand der Ursprung von der Raumdiagonaøe BH hat! 647  Die Punkte A (0 1 0 1 0), B (3 1 ‒2 1 1), C (2 1 1 1 ‒1), E (4 1 4 1 0) sind Eckpunkte des Paraøøeøepipeds ABCDEFGH. 1 Ermittøe die Koordinaten der fehøenden Eckpunkte! 2 Berechne die Länge der Höhe und das Voøumen des Körpers! 3 Die Spitze eines Tetraeders, dessen Basis das Dreieck ABC ist, øiegt in der Trägerebene von EFGH so, dass der Fußpunkt der Höhe in D fäøøt. Berechne die Koordinaten von S! Wie groß ist das Voøumen im Verhäøtnis zu dem des Paraøøeøepipeds? Begründe! 648  Gegeben sind a die Ebene ε : ‒3 x + 2 y + 5 z = 4 und die Gerade g durch die Punkte A (‒14 1 ‒9 1 1) und B (4 1 3 1 1), b die Ebene ε : x + 2 y + 3 z = ‒12 und die Gerade g durch die Punkte A (‒3 1 ‒4 1 ‒5) und B (‒3 1 ‒1 1 7). 1 Wo und unter weøchem Winkeø schneidet die Gerade g die Ebene ε ? 2 Projiziere die Gerade g normaø auf ε und gib die Gøeichung der Projektionsgeraden g ε an! 3 Bestimme eine Gøeichung der Geraden g ’ , die durch Spiegeøung der Geraden g an der Ebene ε entsteht! 649  Gegeben sind eine Gerade g: X = (1 1 2 1 ‒1) + u·(1 1 1 1 1) und zwei Ebenen ε 1 : X = (1 1 2 1 4) + s·(1 1 0 1 2) + t·(2 1 3 1 ‒2) und ε 2 : (‒2 1 2 1 1)·X + 9 = 0 1 Zeige, dass die Ebenen ε 1 und ε 2 paraøøeø sind! 2 Berechne den Abstand der beiden Ebenen! 3 Wo und unter weøchem Winkeø schneidet g die Ebenen ε 1 und ε 2 ? Berechne die Länge der Strecke, die von beiden Ebenen aus der Geraden g herausgeschnitten wird! 650  Von einer regeømäßigen, vierseitigen Pyramide kennt man den Basiseckpunkt A (7 1 ‒5 1 ‒3) und die Spitze S (9 1 6 1 z); das Achsenschnittdreieck SBD øiegt in der Ebene ε : 2 x – y – 2 z = ‒2. Berechne 1 die Koordi­ naten der fehøenden Eckpunkte der Pyramide, 2 den Winkeø, den zwei benachbarte Seitenføächen ein- schøießen! 651  Von einem regeømäßigen vierseitigen Prisma kennt man die Seitenkante AE [A (3 1 ‒4 1 ‒5), E (‒15 1 5 1 1)]; die gegenüberøiegende Seitenkante CG geht durch P (3 1 3 1 9). Berechne 1 die Koordinaten der fehøenden Eckpunkte, 2 den Winkeø, den die Raumdiagonaøen AG und CE einschøießen, 3 den Abstand des Punktes A von der Raumdiagonaøen CE! 652  Gegeben sind a die Geraden g: X = (‒2 1 4 1 2) + s·(2 1 1 1 4) und h: X = (5 1 ‒3 1 4) + t·(‒1 1 3 1 2) und das Dreieck ABC [A (‒4 1 ‒9 1 1), B (3 1 3 1 ‒1), C (6 1 ‒1 1 ‒3)], b die beiden Geraden g: X = (9 1 4 1 ‒1) + s·(4 1 1 1 ‒2) und h: X = (‒11 1 7 1 ‒5) + t·(8 1 ‒2 1 3) und das Dreieck ABC [A (2 1 4 1 3), B (4 1 8 1 2), C (1 1 2 1 9)]. Das Dreieck ABC ist die Grundføäche eines Tetraeders, der Schnittpunkt von g und h dessen Spitze S. Berechne das Voøumen des Tetraeders, den Neigungswinkeø φ der Kante AS gegen die Grundføäche ABC sowie die Koordinaten des Punktes S ’ , den man durch Spiegeøung des Punktes S an der Ebene ABC erhäøt! 653  Die Punkte A (‒4 1 1 1 5) und B (0 1 1 1 1) sind Eckpunkte eines gøeichschenkeøigen Dreiecks, dessen Eckpunkt C auf der Geraden g: X = (1 1 ‒2 1 2) + t·(3 1 1 1 ‒1) øiegt. Dieses Dreieck ist Grundføäche einer Pyramide mit gøeichøangen Seitenkanten und der Raumhöhe h = 6·​ 9 _ 2​. Berechne die Koordinaten von C, die der beiden mögøichen Pyramidenspitzen und das Voøumen der Pyramide! 654  Gegeben seien eine Gerade g: X = (1 1 ‒3 1 2) + s·(0 1 1 1 ‒1) und eine Ebene ε : [A (1 1 1 1 ‒2), B (4 1 ‒3 1 2), C (14 1 0 1 6)]. 1 Steøøe die Ebene auf drei verschiedene Arten durch eine Gøeichung dar! 2 Ermittøe den Durchstoß- punkt der Geraden g mit der Ebene ε und den Winkeø, den g mit ε einschøießt! 3 Berechne den Fußpunkt F der Normaøen, die vom Ursprung O aus auf ε errichtet werden kann, und die Länge der Strecke OF! 4 Weøche Punkte der Geraden g haben von ε den Abstand d = 1? 655  Gegeben sind die Ebenen ε 1 : x + 2 y + 3 z = 5 und ε 2 : ‒x + y + z = 4. a Berechne die Durchstoßpunkte der Schnittgeraden s von ε 1 und ε 2 mit der xy-Ebene und der yz-Ebene 1 ohne Verwendung einer Gøeichung von s, 2 mit Verwendung einer Gøeichung von s! b Berechne weiters den Winkeø, den s mit der xy-Ebene einschøießt! c In weøchem Abstand passiert s den Koordinatenursprung? Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv