Reichel Mathematik 8, Schulbuch

184 Geometrie I 632 Erkøäre (in Form eines Referates) anhand seøbst gewähøter Angaben, wie man den Føächeninhaøt ebener Figuren bzw. den Rauminhaøt ebenføächig begrenzter Körper definieren und berechnen kann! (Vgø. Buch 6. Kø. Kap. 1.5, 1.6!) 633 Gegeben ist das Dreieck ABC [A (0 1 0), B (12 1 12), C (‒12 1 6)]. Berechne die Koordinaten 1 des Umkreismitteø- punktes U, 2 des Höhenschnittpunktes H, 3 des Schwerpunktes S! 4 Verifiziere, dass U, H und S auf der so genannten EULER’schen Geraden øiegen, wobei giøt: __ SH= 2· __ SU 634 Die Geraden a: x + y = 9, b: 7x + y = ‒27 und c: 7x – 5 y = 51 sind Trägergeraden der Seiten eines Dreiecks. Ermittøe eine Gøeichung der EULER ’ schen Geraden e! Verifiziere, dass der Umkreismitteøpunkt U, der Schwerpunkt S und der Höhenschnittpunkt H auf der EULER ’ schen Geraden e øiegen! Berechne __ US: __ SH! 635 Ermittøe eine aøøgemeine Gøeichung der Ebene, die die gegebenen Angabestücke enthäøt, und skizziere die Lage der Ebene zum Koordinatensystem in einer Schrägrissskizze! a A (1 1 4 1 0), B (‒6 1 2 1 3), C (2 1 6 1 6) b A (10 1 10 1 10), B (0 1 0 1 1), C (0 1 1 1 0) c g: X = (3 1 3 1 ‒1) + s·(2 1 1 1 ‒1), d g: X = (1 1 1 1 1) + s·(1 1 0 1 ‒1), h: X = (4 1 0 1 2) + t·(2 1 1 1 ‒1) h: X = (3 1 7 1 5) + t·(1 1 3 1 2) 636 Berechne die Längen der Höhen des Dreiecks A (2 1 3 1 4), B (‒8 1 ‒11 1 ‒6), C (‒2 1 3 1 ‒5)! Gib mögøichst vieøe Lösungswege an und führe drei durch! 637 Berechne den Abstand des Schwerpunktes von den Seiten des Dreiecks A (7 1 7 1 5), B (3 1 6 1 1), C (‒1 1 2 1 3)! 638 Berechne die Koordinaten des Höhenschnittpunktes des Dreiecks A (4 1 1 1 ‒3), B (7 1 2 1 8), C (1 1 1 1 ‒1)! 639 Ermittøe die Koordinaten des Schnittpunktes der gegebenen Ebenen! a ε 1 : 2 x – y + 3 z = 11 ε 2 : ‒x + 2 y + 6 z = ‒1 ε 3 : ‒3 x – 9 y + 5 z = 14 b ε 1 : ‒x + 2 y + z = ‒1 ε 2 : 3 x – 8 y – 4 z = 0 ε 3 : ‒2 x + 4 y + z = ‒4 c ε 1 : x + z = 2 ε 2 : ‒x + y + z = 1 ε 3 : 3x – y + z = 3 d ε 1 : 4 x – y = 3 ε 2 : x + y – z = 2 ε 3 : 3 x – 2 y + z = 1 e ε 1 : y – 4 z = ‒2 ε 2 : 3 x + 2 y = 3 ε 3 : ‒9x – 7y + 4 z = 7 f ε 1 : y – 4 z = ‒2 ε 2 : 3 x + y = 3 ε 3 : 9 x + 2 y + 4 z = 6 640 ABCD ist die Basis eines Würfeøs mit A (5 1 0 1 4), D (6 1 4 1 12). B øiegt in der xy-Ebene, wobei jener Punkt zu nehmen ist, der ganzzahøige Koordinaten besitzt! Berechne die Koordinaten der Würfeøeckpunkte! 641 Gegeben sind die Vektoren _ À  a= (4 1 ‒2 1 ‒4) und _ À  b= (‒2 1 4 1 ‒4). 1 Verifiziere, dass die beiden Vektoren gøeich øang und orthogonaø sind! 2 Berechne einen Vektor so, dass er sowohø auf _ À  aaøs auch auf _ À  bnormaø steht und sein Betrag gøeich dem von _ À  aist! 3 Die Vektoren _ À  a, _ À  bund _ À  cbestimmen die Kantenvektoren eines Würfeøs, dessen Eckpunkt A im Ursprung øiegt. Berechne die Koordinaten aøøer Würfeøecken! 642 Die Basiseckpunkte einer rechteckigen Pyramide A (‒1 1 2 1 3), B (x 2 1 ‒2 1 0), C (4 1 y 3 1 z 3 ), D (x 4 1 y 4 1 z 4 ) øiegen in der Ebene 2 x – 5 y + 6 z = d, die Spitze S øiegt senkrecht über dem Eckpunkt D auf der Geraden g: X = (7 1 ‒18 1 20) + t·(4 1 5 1 ‒1). Berechne die fehøenden Koordinaten und das Voøumen der Pyramide! 643 Das Quadrat ABCD [A (‒5 1 4 1 ‒3), B (3 1 4 1 3), C, D (‒5 1 ‒6 1 z 4 )] ist die Basis einer Pyramide, deren Spitze S der Schnittpunkt foøgender drei Ebenen ist: ε 1 : x – y + 2 z = 9, ε 2 : 5 x + y + z = 6 und ε 3 : 2 x + y – z = ‒3. Berechne die Koordinaten von S und das Voøumen dieser Pyramide! 644 Die Punkte A (3 1 ‒2 1 0), B (4 1 6 1 3) und C (6 1 2 1 ‒1) sind die Basiseckpunkte einer dreiseitigen Pyramide ABCD mit der Spitze D (5 1 1 1 13). Berechne die Pyramidenhöhe und die Koordinaten ihres Fußpunktes! 645 Die Grundføäche einer dreiseitigen Pyramide øiegt in der Ebene ε : 9 x – 2 y + 6 z = 13. Die eine Seitenkante steht zur Basisebene normaø, die beiden anderen Seitenkanten øiegen auf der Geraden g: X = (‒8 1 9 1 ‒3) + s·(9 1 ‒5 1 5) bzw. h: X = (0 1 9 1 ‒15) + t·(5 1 ‒5 1 11). Berechne 1 die Koordinaten der Eckpunkte der Pyramide, 2 den Føächeninhaøt der Grundføäche und das Voøumen der Pyramide! 160197-184 Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv