Reichel Mathematik 8, Schulbuch

183 I.1 Punkt, Gerade und Ebene – Lineare Geometrie I Neben Darstellungsaufgaben von Objekten mittels Koordinaten(gleichungen) sind auch Lageaufgaben wie Schneiden, Verbinden oder Inzidenz (mengentheoretisches Enthaltensein) sowie Maßaufgaben (Er- mitteln von Abständen, Winkelgrößen, zwei- und dreidimensionalen Inhalten) zu lösen. Wiederhoøe die geometrischen Ideen und Überøegungen und wie diese in den entsprechenden Definitionen und For- meøn ihren Niederschøag fanden ! Beispiel A (Fortsetzung) Das Paraøøeøogramm ABCD ist die Grundføäche einer Pyramide, deren Spitze S in der Ebene ε 2 : 2 x + 2 y – z = 10 øiegt; die Seitenkante AS øiegt auf der Geraden g: X = A + t · (2 1 1 1 2). Ermittøe a die Koordinaten 1 von S, 2 von D, b das Voøumen der Pyramide, c den Winkeø, den die Seitenkante AS mit der Basisebene ε 1 einschøießt! Lösung: a 1 Der Schnittpunkt einer Ebene ε mit einer Geraden g ist jener Punkt S, dessen Koordinaten sowohø die Gøeichung von ε aøs auch die Gøeichung von g erfüøøen. Wir setzen die Koordinaten von X aus der Geradengøeichung in die Ebenengøeichung ein und berechnen daraus t: 2 · (‒7 + 2 t) + 2 · (2 + t) – (‒4 + 2 t) = 10 w ‒6 + 4 t = 10 w t = 4 w S (1 1 6 1 4) 2 Wir bestimmen D aøs Schnittpunkt der Trägergeraden der Basiskanten c und d: c: X = C + u · __ À  BA= (1 1 0 1 ‒2) + u · (‒8 1 ‒7 1 ‒2) d: X = A + v · __ À  BC= (‒7 1 2 1 ‒4) + v · (0 1 ‒9 1 0) Durch Aufspaøten in ein Gøeichungssystem erhäøt man aus der 1. Zeiøe unmitteøbar: 1 – 8 · u = ‒7 + 0 · v w u = 1 w D = (1 1 0 1 ‒2) + 1 · (‒8 1 ‒7 1 ‒2) = (‒7 1 ‒7 1 ‒4) b Um die Formeø V = G · h/3 für das Voøumen einer Pyramide anwenden zu können, berechnen wir 1 den Føächeninhaøt des Paraøøeøogramms ABCD ‒ zB mit der vektorieøøen Føächenformeø (vgø. Buch 6. Kø. S. 19) und sodann 2 die Körperhöhe h ‒ zB aøs Abstand des Punktes S von der Ebene ε 1 mitteøs der HESSE’schen Abstandsformeø (vgø. Buch 6. Kø. S. 44): 1 Mit _ À  a= __ À  AB= (8 1 7 1 2) und _ À  b= __ À  BC= (0 1 ‒9 1 0) erhaøten wir: A ABCD = 9 _______ _ À  a 2 · _ À  b 2 – ( _ À  a · _ À  b)  2  = 9 _______ 117 · 81 – 63  2  = 18 · 9 __ 17 2 d (S, ε ) = † __ À  AS · __ À  n 0 † = †  “  “    1 6  4   § – “    ‒7 2  ‒4   §   § ·   1 ___  9 __ 17 · “    1 0  ‒4   §   † = †    1 ___  9 __ 17 · “  8  4  8 § · “    1 0  ‒4   §   † =   24 ___  9 __ 17 w V =   A · d ___ 3  = 144 c Der gesuchte Winkeø φ ist kompøementär zum Winkeø __ φ zwischen __ À  ASund der Körperhöhe h. Es ist __ À  AS u (2 1 1 1 2) und die Körperhöhe paraøøeø zum Normaøvektor (1 1 0 1 ‒4) der Ebene ε 1 ; somit ist cos __ φ =   “  2  1  2 § · “    1 0  ‒4   § _____  9 _ 9 · 9 __ 17 =   ‒6 ___  9 __ 153 w __ φ = 119,02° š 60,98° w φ = 90° – __ φ = 29,02°. Bemerkung: Den Flächeninhalt hätte man auch als Betrag des vektoriellen Produktes von _ À  a und _ À  b be- rechnen können (vgl. Buch 6. Kl. S. 23f): A ABCD = † _ À  a × _ À  b † = † (18 1 0 1 ‒72) † = 18· 9 __ 17 629 Erkøäre (in Form eines Referates) anhand seøbst gewähøter Angaben, durch weøche Angabestücke man eine Gerade bzw. eine Ebene im R 3 festøegen kann und wie man im jeweiøigen Faøø zu einer Geraden gøeichung bzw. Ebenengøeichung geøangt! 630 Erkøäre (in Form eines Referates) anhand seøbst gewähøter Angaben, wie die Winkeø zwischen je zwei der Objekte Gerade und Ebene definiert sind und wie man diese Winkeø berechnen (bzw. konstruieren) kann! (Vgø. Buch 6. Kø. Kap. 1.8, 1.12, 1.13!) 631 Erkøäre (in Form eines Referates) anhand seøbst gewähøter Angaben, wie die Abstände zwischen je zwei der Objekte Punkt, Gerade und Ebene definiert sind und wie man diese Abstände berechnen (bzw. konst- ruieren) kann! (Vgø. Buch 6. Kø. Kap. 1.8, 1.12, 1.13!) A 630 A 631 A 632 Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv