Reichel Mathematik 8, Schulbuch

182 I Geometrie Punkt, Gerade und Ebene – Lineare Geometrie Die Geometrie ist eine Wurzel und wohl eine der wichtigsten Disziplinen der Mathematik. Geometrie haben wir „koordinatenfrei“ (als konstruktive Geometrie) und auch „koordinatengebunden“ (als analyti- sche Geometrie) betrieben. Letztere fasst die geometrischen Objekte als Punktmengen auf und legt je- den Punkt durch ein n -tupel von Zahlen fest. Diese Zahlen heißen die Koordinaten des Punktes und n heißt die Dimension des Raumes, in dem wir – nunmehr rechnerisch – Geometrie betreiben. Im Folgenden betreiben wir ebene analytische Geometrie bzw. analytische Geometrie im Anschauungs- raum, dh., wir arbeiten im R 2 bzw. R 3 . Viele – aber nicht alle – Formeln existieren sowohl für den R 3 wie auch den R 2 in analoger Form, wenn man den R 2 als jenen Teilraum des R 3 auffasst, dessen Punkte die Koordinaten (x 1 y 1 0) besitzen. Zu diesen Formeln gehören etwa die „Spitze minus Schaft“-Regel  ​ ​ __ À  AB​= B – A = (x B – x A 1 y B – y A 1 z B – z A ) zur Berechnung der Koordinaten von Vektoren und Pfeilen (orientierten Strecken), oder die Distanz­ formel † ​ ​ __ À  AB​ † = ​ 9 ________________ (x B – x A ​)​  2 ​+ (y B – y A ​)​  2 ​+ (z B – z A ​)​  2 ​  ​mittels der man den Betrag von Vektoren bzw. die Länge von Pfeilen und damit den Abstand zweier Punkte berechnen kann. Zu diesen Formeln gehört auch die Parameterdarstellung X = A + t·​ ​ _ À  a​ einer Geraden, nicht jedoch die allgemeine Gleichung ax + by = c der Geraden im R 2 . Die „analoge“ Gleichung ax + by + cz = d im R 3 beschreibt ja bekanntlich eine Ebene. Die Tatsache, dass sich eine Gerade des R 2 durch eine lineare Gleichung mit zwei Variablen und eine Ebene im R 3 durch eine lineare Gleichung mit drei Variablen beschreiben lässt, zeichnet die Objekte „Gerade“ und „Ebene“ (neben den Punkten) als die einfachsten Objekte im R 2 bzw. im R 3 aus und er- klärt auch den Titel „Lineare Geometrie“. Wiederhoøe die Angabemögøichkeiten und Darsteøøungsarten einer Geraden im R 2 und R 3 sowie einer Ebene im R 3 ! Beispiel A Die Ebene ε 1 geht durch die drei Punkte A ( ‒ 7 1 2 1 ‒ 4), B (1 1 9 1 ‒ 2) und C ( 1 1 0 1 ‒ 2). Bestimme 1 eine Para- meterdarsteøøung, 2 eine aøøgemeine Gøeichung, 3 eine Normaøvektorgøeichung der Ebene! Lösung: 1 Parameterdarsteøøung von ε 1 : X = A + s · ​ ​ __ À  AB​+ t · ​ ​ __ À  AC​= ​ “  ​  ‒7 2  ‒4 ​  § ​+ s · ​ “  ​ 8  7  2 ​ § ​+ t · ​ “  ​  4 ‒1    1 ​ § ​  s, t * R ( weiø ​ “  ​  4 ‒1    1 ​ § ​ u ​ “  ​   8  ‒2   2 ​ § ​ = ​ ​ __ À  AC​) 2 Wir eøiminieren die beiden Parameter s und t: I: x = ‒7 + 8 s + 4 t I + 4 · II: x + 4 y = 1 + 36 s II: y =  2 + 7s –  t II + III:    y + z = ‒2 + 9 s  ! ·(‒ 4) III: z = ‒4 + 2 s +  t  ε 1 :  x  ‒4 z = 9 3 Da die Koeffizienten der aøøgemeinen Gøeichung x – 4 z = 9 die Koordinaten eines Normaøvektors von ε 1 sind, erhäøt man für die Normaøvektorgøeichung ε 1 : ​ “  ​   1  0  ‒4 ​  § ​·​ “  X – ​ “  ​  ‒7 2  ‒4 ​  § ​  § ​= 0 oder ​ “  ​   1  0  ‒4 ​  § ​·X = ​ “  ​   1  0  ‒4 ​  § ​·​ “  ​  ‒7 2  ‒4 ​  § ​ bzw. ​ “  ​   1  0  ‒4 ​  § ​·X = 9 Bemerkung: Aufg. 3 lässt sich auch mit dem „Kreuzprodukt“ (vgl. Buch 6. Kl. S. 23f) lösen: ​ ​ __ À  AB​ × ​ ​ __ À  AC​= ​ “  ​ 8  7  2 ​ § ​ × ​ “  ​  4 ‒1    1 ​ § ​= ​ “  ​  7·1 – (‒1)·2  ‒(8·1 – 4·2) 8·(‒1) – 4·7 ​ § ​= ​ “  ​   9   0   ‒36 ​  § ​ u ​ “  ​   1  0  ‒4 ​  § ​ und daher ​ “  ​  1  0  ‒4 ​  § ​·​ “  X – ​ “  ​  ‒7  2  ‒4 ​  § ​  § ​= 0 I.1 A  629 Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv