Reichel Mathematik 8, Schulbuch

173 4.10 Rückblick und Ausblick 4 Zentraler Grenzwertsatz 621  Ein Pionier auf dem Gebiet der Normalverteilung war der eng­ lische Biologe Sir Francis GALTON (1822−1911). Von ihm stammt das GALTON-Brett , eine sehr eindrucksvolle Veran- schaulichung der Binomial- bzw. Normalverteilung: Aus einer Öffnung rollen gleich große Kugeln nacheinander auf eine Kaskade von gemäß Fig. 4.29 angeordneten Nägeln. Jeder Nagel, auf den eine Kugel trifft, lenkt sie – jeweils mit Wahr- scheinlichkeit 1/2 – so ab, dass sie auf den links oder rechts darunter eingeschlagenen Nagel trifft, wo sie in gleicher Weise abgelenkt wird. Sind n Nagelreihen vorhanden, so wird die Kugel n-mal abgelenkt. Je nachdem, welche Irrfahrt die Kugel zurücklegt, landet sie schließlich in einem der n + 1 Fächer; wir beschriften diese Fächer der Reihe nach mit 0 , 1 , … , n . So landet zB die Kugel im Fach Nr. 2 , wenn sie genau 4 -mal nach links und genau 2 -mal nach rechts abgelenkt wird (unabhän- gig davon, in welcher Reihenfolge dies geschieht). Allgemein: Die Kugel landet im Fach Nr. k ( k = 0, 1, … , n ), wenn sie k -mal nach rechts und (n – k) -mal nach links abgelenkt wird. Die Wahrscheinlichkeit, dass die Kugel im Fach Nr. k landet, lässt sich daher wie folgt berechnen:  ​ “  ​  n k ​  § ​ · ​ “  ​  1 _ 2 ​  § ​  k ​ · ​ “  ​  1 _ 2 ​  § ​  n – k ​= ​ “  ​  n k ​  § ​ · ​ “  ​  1 _ 2 ​  § ​  n ​ Offensichtlich ist die Nummer K des bei einem Versuch getroffenen Faches eine mit den Parametern n und p = 1/2 binomialverteilte Zufallsvariable. F  4.29 1 Erøäutere, wie man das oben beschriebene GALTON-Brett zur Simuøation einer Binomiaøverteiøung b n; 0,5 verwenden kann ‒ und im Prinzip in Spieøautomaten („Føipper“) auch tatsächøich verwendet! Bastøe ein soøches „Spieø-Brett“! 2 Was passiert, wenn man zwischen je zwei benachbarte Nägeø jeweiøs genau einen neuen Nageø ein- schøägt und haøb so große Kugeøn herabroøøen øässt? 3 Was passiert, wenn man diese „Verfeinerung“ wieder und wieder (insgesamt m-maø) durchführt? Gib eine Formeø für die Anzahø der notwendigen Fächer an! 4 Weøche Verteiøung wird für großes n simuøiert? 5 Inwieweit hat diese Simuøation mit dem zentraøen Grenzwertsatz zu tun? 622  Die Normaøverteiøung drückt aøs „Modeøø symmetrisch-gebaøøter Mitteømäßigkeit“ aus, was „normaø“ und was „anormaø“ ist. Kreuze an und begründe, weøches der foøgenden Phänomene in einer Bevöøkerung deiner Meinung nach zu Recht/Unrecht durch eine Normaøverteiøung beschrieben wird! Einkommen Alter Körpergröße Intelligenzquotient Zu Recht Zu Unrecht Blättere dieses Kapitel nochmals Seite für Seite durch und überprüfe anhand des nachfolgenden Kompetenzchecks, ob du die jeweils in den Überschriften genannten Kompetenzen (im gewünsch- ten Anspruchsniveau) erworben hast! Fig. 4.29 0 1 2 3 4 5 6 Nur zu rüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv