Reichel Mathematik 8, Schulbuch

170 Wahrscheinlichkeitsrechnung und Statistik 4 Als Beispiele für zwei besonders wichtige stetige Verteilungen wollen wir die stetigen Analoga zweier in der 7. Klasse behandelten diskreten Verteilungen untersuchen: als Analogon zur diskreten Gleichvertei- lung (vgl. Buch 7. Kl. S. 258) die stetige Gleichverteilung , als Analogon zur geometrischen Verteilung (vgl. Buch 7. Kl. S. 259) die Exponentialverteilung . Beide Verteilungen können durch Angabe ihrer Dichtefunk- tion (bzw. Verteilungsfunktion) festgelegt werden. a Die stetige Gleichverteilung Definition Die durch die Dichtefunktion f: ​  1 ___  b – a ​ x * [a; b] 0 x + [a; b] festgeøegte Verteiøung heißt stetige Gøeichverteiøung. Weise nach, dass tatsächøich eine Dichtefunktion vorøiegt ! Satz Erwartungswert und Varianz einer stetigen gøeichverteiøten Zufaøøsvariabøen:  E (X) = μ = ​  b + a ___ 2  ​ V (X) = σ 2 = ​  (b – a​)​  2 ​ _____ 12  ​ Weise die Formeln nach ! b Die Exponentialverteilung Definition Die durch die Dichtefunktion f: a · e ‒ax x º 0, a > 0 0 x < 0 festgeøegte Verteiøung heißt Exponentiaøverteiøung. Weise nach, dass tatsächøich eine Dichtefunktion vorøiegt ! Satz Erwartungswert und Varianz einer stetigen exponentiaøverteiøten Zufaøøsvariabøen:  E (X) = μ = ​  1 _ a ​ V (X) = σ 2 = ​  1 __  ​a​  2 ​ ​ Weise die Formeøn nach ! Stichprobenverteilungen 602  Beim Messen von Winkeøn in der Astronomie möge ein Hobby-Fernrohr bei einer Einzeømessung Winkeø nur auf sehr mäßige 5” (Winkeøsekunden) genau messen können. Dennoch ist es mögøich, mit diesem Gerät Messergebnisse übøicher Genauigkeit (von 1‒2”) zu erhaøten, wenn man Messserien am seøben Objekt ausführt. Wie ist dies zu erkøären? Berechne, wie vieøe Messungen man durchführen muss, damit das so ermitteøte (besser: gemitteøte) „Mess“-Ergebnis mit einer Sicherheit von 95% auf 2” genau ge­ messen wurde! 603  Laut Zeitungsbericht sitzen zehnjährige Kinder durchschnittøich 140±90 Minuten pro Tag vor dem Fernsehapparat. Wie groß ist die Wahrscheinøichkeit, dass in der 1A Køasse mit 36 Kindern die durch- schnittøiche Fernsehzeit der Kinder a mehr aøs 3 Stunden, b weniger aøs 2 Stunden beträgt? x f 1 0 a=0,5 b=2,5 μ μ ‒ σ μ + σ y = 1 2 A  612 A  613 x f 1 1 0 μ μ ‒ σ μ + σ y =2 . e ‒2x A  612 A  614 Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv