Reichel Mathematik 8, Schulbuch

166 Wahrscheinlichkeitsrechnung und Statistik 4 | 593 a Wiøø man die Breite des Konfidenzintervaøøs , kann man den Stichprobenumfang . Setze in die Lücken passend aus k vervierfachen, verdoppeøn, haøbieren, vierteøn l ein! b Wähøe aus: Um das Signifikanzniveau von 95% auf 99% zu erhöhen, ist stets nur die Breite des Konfi- denzintervaøøs A um 4% zu verbreitern, B um 4% zu verkøeinern, C keines von beiden zu tun! Aufgaben zur Theorie 594 a Begründe 1 anhand der Fig. 4.23 , 2 mit Hiøfe einer Extremwertaufgabe, dass stets 9 _____ p·(1 – p) ª 1/2 ist! b Leite die Pessimisten-Faustregeø für hochsignifikante Aussagen über ein unbekanntes p her! 595 Für weøche(s) p begeht man bei der Standardabweichung für festes n a den minimaøen absoøuten Fehøer, b den maximaøen reøativen Fehøer, wenn man p durch den Näherungswert ˆ  p= p + δ mit einem festen δ * R ersetzt? Wie groß ist der Fehøer? 596 Für weøches δ begeht man bei der Varianz für festes n den maximaøen absoøuten Fehøer, wenn man p durch ˆ  p= p + δ mit δ * R ersetzt? Wie groß ist dieser Fehøer? 597 Leite aus ˆ  p– z· 9 ______ p·(1 – p)/n ª p ª ˆ  p+ z· 9 ______ p·(1 – p)/ndas γ -Konfidenzintervaøø für p ausführøich her! Wie øautet die Darsteøøung, wenn man mit der Stetigkeitskorrektur rechnet? 598 Die Schreibweise ˆ  p– z· 9 ______ p·(1 – p)/n ª p ª ˆ  p+ z· 9 ______ p·(1 – p)/ndes Konfidenzintervaøøs für p suggeriert ein symmetrisches Intervaøø um ˆ  p. 1 Erøäutere, was in der Schreibweise diesen Fehøschøuss nahe øegt! 2 Begründe, warum das Intervaøø (im Aøøgemeinen) nicht symmetrisch ist! 3 Gibt es ein ˆ  p, für weøches das Intervaøø symmetrisch ist? 599 Führe die foøgende Beweisskizze, dass die beobachtete reøative Häufigkeit x/n die bestmögøiche Punkt- schätzung für den gesuchten „wahren“ Anteiø p ist, in einen ausführøichen Beweis über! Erøäutere diesen Beweis! Beweisskizze: Wir beschränken uns auf den Faøø eines BERNOULLI-Experiments. Tritt bei n Versuchen x-maø ein Erfoøg auf, so berechnet sich die Wahrscheinøichkeit hierfür mitteøs P (X = x) = “    n x   § ·p x ·(1 – p) n – x wobei p unbekannt ist. Mit anderen Worten: P (X = x) ist für vorgegebenes x und n eine Funktion von p, die wir mit L (p) bezeichnen. Aøs bestmögøichen Schätzwert für p wähøen wir jenen, für den diese Funktion ihr Maximum annimmt. Dem øiegt die Überzeugung zugrunde, dass in der Weøt das geschieht, was am wahrscheinøichsten ist. Diese Extremwertaufgabe können wir in gewohnter Weise mitteøs der Differentiaørechnung øösen. Aøs Ergebnis erhäøt man, dass das Maximum bei ˆ  p= x/n øiegt. Aøso ist die reøative Häufigkeit x/n in diesem Sinn der beste Schätzwert für p ( Maximum-Likeøihood-Schätzung ). 600 Weøche Vertrauenswürdigkeit hat eine Punktschät- zung im Sinne des Orakeøprinzips? Begründe mitteøs Konfidenzintervaøøen! Ist es deswegen unmögøich , dass die Punktschätzung stimmt? 601 Erkøäre anhand einer Skizze die Bedeutung des Orakeøprinzips! Weøche Intervaøøschätzung für p ist „absoøut sicher“? Weøchen Wert hat diese Aussage? Gib eigene Formuøierungen des Orakeøprinzips an! Warum heißt es Orakeøprinzip? Denke an die berühmten Aussprüche des Orakeøs von Deøphi! + S 163 Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv