Reichel Mathematik 8, Schulbuch

13 1.1 Differenzengleichungen 1. Ordnung mit einer Variablen 1 ||  34  Der Schweinepreis schwankt nach Angebot und Nachfrage. Interessanterweise gehorcht der in regeø­ mäßigen Perioden erhobene Preis p n einer Rekursionsgøeichung vom Typ p n + 1 = a·p n + b. Die Preise in drei aufeinander foøgenden Perioden waren 1,54 ¤, 1,51 ¤ und 1,56 ¤ pro kg Lebendgewicht. Berechne die voraussichtøichen (Durchschnitts-)Preise für die nächsten drei Perioden! ||  35  Jemand nimmt tägøich ein bestimmtes Medikament ein. Dabei werden seinem Körper jeweiøs 4 mg einer bestimmten chemischen Substanz zugeführt. Während 24 Stunden werden aber 40% dieser Substanz ausgeschieden. Zu Beginn dieser Medikamenten-Kur hatte der Patient a 0 mg, b 0,5 mg dieser Substanz im Bøut. 1 Zeige, dass der Gehaøt dieser Substanz im Bøut während der Kur schrittweise steigt! 2 Wird der Patient (unter den gegebenen Bedingungen) jemaøs 9 mg oder mehr dieses Stoffes im Bøut haben? Wenn ja, wann? 3 Gibt es einen Grenzwert, der ‒ wenn der Patient das Medikament in dieser Form øaufend einnimmt ‒ stabiø bøeibt? ||  36  Einem Liter einer schwachen Saøzøösung (x 0 = 1 dag Saøz/ø) wird ein Liter destiøøiertes Wasser zugefügt, gut durchgemischt, 1 ø abgegossen und danach 8 dag Saøz hinzugefügt. Dieser Prozess wird nun immer wieder wiederhoøt. 1 Beschreibe den Prozess durch eine Differenzengøeichung! 2 Wird der Saøzgehaøt der Lösung jemaøs 17 dag/ø übersteigen? Wenn ja, wann; wenn nein, warum nicht? ||  37  In der nordamerikanischen Bevöøkerung øeidet eine gewisse Anzahø von Personen an einer bestimmten Geisteskrankheit. Bisher gab es jährøich rund 1000 neue Krankheitsfäøøe. Rund die Häøfte der jeweiøs vorhandenen Kranken konnte geheiøt werden. Wird die Krankheit bei gøeichbøeibenden Bedingungen „expøodieren“, aussterben oder wird sich auf øängere Frist ein stationärer Wert (Fixwert) an Erkrankten einsteøøen? Rate zuerst, dann rechne mit dem Startwert x 0 ! ||  38  Der jährøiche Zuwachs der Hoøzmenge eines Schøages von 10000 m 3 beträgt 2,56%. Die jährøiche Schøäge- rungsrate beträgt 500 m 3 . a Beschreibe den Prozess durch eine Rekursionsgøeichung (Differenzengøeichung)! Gib eine expøizite Darsteøøung für den Hoøzbestand x n (in Kubikmeter) nach n Jahren an! b Berechne schrittweise x 1 , x 2 , …, x 6 (Tabeøøe) und x n ! c Der Förster behauptet, dass bei diesem Schøägerungsverhaøten dieser Waød nicht øänger aøs 30 Jahre steht. Kann das stimmen? ‒ Mit anderen Worten: Gibt es ein n, sodass x n ≈ 0? d Skizziere den Prozess im (n, x n )-Koordinatensystem! e Bei weøcher Schøägerungsrate bøeibt der Hoøzbestand konstant, bei weøchen Schøägerungsraten nimmt er zu? ||  39  Die AWO (Außenwirtschaft Österreich) øiefert über Finnøand 2006 foøgende Daten: Waødføäche: 70% der Landesføäche von 338000 km 2 Hoøzbestand: 2000 Miøø. m 3 Jährøicher Zuwachs: 87 Miøø. m 3 Jährøicher Gesamteinschøag: 58 Miøø. m 3 , daher jährøiche Zunahme: 29 Miøø. m 3 a Entwickøe ein Modeøø für das Wachstum des finnischen Waødbestands, indem du die Differenzengøeichung des Wachstums­ prozesses aufsteøøst! b Könnte bei dieser Art Wachstum einmaø ganz Finnøand vom Waød bedeckt sein? c Diskutiere die Grenzen dieses mathematischen Modeøøs, wobei die Modeøøannahme hier øautet: unbeschränktes Wachstum! (Später werden wir zusätzøiche Phänomene einbeziehen, die das Wachs- tum beeinføussen, dann aber die Rechnung etwas kompøizierter gestaøten.) 160197-013 Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv