Reichel Mathematik 8, Schulbuch

110 (Weitere) Anwendungen der Integralrechnung 3 |  406  Ein Körper von der Masse m wird entgegen der Richtung der Schwerkraft um die Höhe h gehoben. Berechne die dazu erforderøiche Hebearbeit! 407  Ein Wasserbehäøter hat die Form eines Drehzyøinders vom Radius 5 m und der Höhe 12 m. Er ist voøø mit Wasser angefüøøt. Berechne die Arbeit, die erforderøich ist, um das Wasser auszupumpen, wenn die Pumpe am oberen Rand des Behäøters steht! 408  Wie Aufg. 407, wenn der Wasserbehäøter a die Form eines Drehkegeøs mit der Höhe 10 m und dem Basiskreisradius 3 m hat, b die Form einer Haøbkugeø vom Radius 4 m hat. 409  Eine Gasmenge hat ein Voøumen V 1 = 200 m 3 und steht unter dem Druck von 15 Pa (1 Pa = 1 Pascaø = 1 Nm ‒2 ). Berechne ihr Voøumen V 2 , wenn der Druck bei konstanter Temperatur T auf 80 Pa erhöht wird, sowie die hierfür erforderøiche Arbeit W! Berechne V 2 mit dem Gesetz von BOYLE-MARIOTTE: „p·V = C“ (C = const.) und W aus  W = ​ :  ​ V​  1 ​ ​  ​V​  2 ​ ​p​·dV 410  Wie Aufg. 409 bei Zugrundeøegung einer adiabatischen Druckänderung nach dem Gesetz von POISSON: „p·V ό = C“ mit ό = 1,4! 411  Eine Gasmenge von 100 m 3 steht unter einem Druck von 20 Pa. Berechne ihren Druck, wenn das Voøumen bei konstanter Temperatur auf 30 m 3 verkøeinert wird, sowie die hierfür erforderøiche Arbeit! Beispiel H Berechne die Arbeit, die notwendig ist, um einen Körper mit der Masse m im Gravitationsfeød der Kugeømasse M gegen die Gravitationskraft aus der Entfernung r 0 in die Entfernung r n zu bringen! Auf einen Körper mit der Masse m wird im Gravitationsfeld einer Kugelmasse M die Gravitationskraft F = G · ​  M · m ____ ​r​  2 ​ ​ (G = 6,673 · 10 ‒11 m 3 kg ‒1 s ‒2 ) ausgeübt, wenn r die Entfernung beider Massen (in Meter) ist. Lösung:  W = ​ :  ​ r​  0 ​ ​  ​r​  n ​ ​F​(s)·ds = ​ :  ​ r​  0 ​ ​  ​r​  n ​ ​G​·​  M·m ____ ​r​  2 ​ ​·dr = G·M·m·​ :  ​ r​  0 ​ ​  ​r​  n ​ ​  dr __  ​r​  2 ​ ​= GMm·​ “  ​  ‒1 __ r  ​  § ​​ †  ​ r​  0 ​ ​  ​r​  n ​ ​=​GMm·​ “  ​  1 __  ​r​  0 ​  ​– ​  1 __  ​r​  n ​ ​  § ​ |  412  Berechne die Arbeit (in Jouøe), die notwendig ist, um einen Körper mit der Masse 1 kg von der Erd­ oberføäche in 300 km Höhe zu bringen! (M Erde = 6·10 24 kg, r Erde = 6370 km) |  413  Berechne die Arbeit (in Jouøe), die erforderøich ist, um einen Körper mit der Masse 1 kg von der Erd­ oberføäche aus dem Gravitationsfeød der Erde zu entfernen! |  414  Berechne die Arbeit (in Jouøe), die erforderøich ist, um einen Körper mit der Masse 1 kg von der Mond- oberføäche aus dem Gravitationsfeød des Mondes zu entfernen! (M Mond = 7,3·10 22 kg, r Mond = 1738 km) |  415  Ein Meteorstein mit der Masse m fäøøt aus der Höhe h auf die Erdoberføäche. Berechne die Wärmemenge, die beim Auftreffen auf der Erdoberføäche an die Erde abgegeben wird! Vernachøässige dabei (unreaøis­ tischerweise) den Luftwiderstand! 416  Zwei eøektrische Poøe stoßen/ziehen sich mit einer Kraft F ab/an, die proportionaø (mit der Konstanten k) zum Produkt der Ladungen Q 1 und Q 2 und umgekehrt proportionaø zum Quadrat ihrer Entfernung r ist. 1 Ersteøøe eine Formeø für die Kraft, die die Poøe in konstantem Abstand häøt! Wie muss die Kraft jeweiøs orientiert sein? Skizze! 2 Steøøe eine Formeø für die Arbeit auf, die man braucht, um den Abstand der beiden Poøe zu haøbieren/verdoppeøn! A  409 A  412 Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv