Reichel Mathematik 8, Schulbuch

109 3.6 Integralrechnung in der Physik 3 In Aufg. 400 wird vorausgesetzt, dass sich im Stromkreis nur Verlustwiderstände (OHM‘sche Widerstän- de) befinden und keine induktiven oder kapazitiven. Da würden dann nämlich auch Phasenverschiebun- gen auftreten: U(t) = U S · sin( ω t + φ ) . Die Größen U S /​ 9 __ 2​ bzw. I S /​ 9 __ 2​ werden „effektive Spannung“ bzw. „ef- fektive Stromstärke“ genannt: P = U eff · I eff . Unter „Leistung“ versteht man in der Physik ganz allgemein den Quotienten aus Arbeit durch Zeit. Für die Leistung eines zeitlich konstanten Stromes mit der Spannung U und der Stromstärke I gilt P = U · I , für die Arbeit W also W = U · I · t . Wenn U und I zeitlich veränderlich sind, also U = U(t) und I = I(t) , dann ist die Arbeit während des (kurzen) Zeitintervalls Δ t durch U(t) · I(t) · Δ t gegeben. Dabei werden U(t) und I(t) während des kurzen Zeitintervalls Δ t als konstant angesehen. Die RIEMANN-Summen  ​ ;  i = 1 ​  n ​ ​U(t i ) · I(t i ) · Δ t liefern beim Grenzübergang Δ t ¥ 0 für die Wechselstromarbeit im Zeitintervall [ 0 ; T ] das Integral W = ​ :  0 ​  T ​U​(t) · I(t) · dt 402  Berechne die Wechseøstromarbeit W, die der Wechseøstrom I (t) = I S ·sin ( ω t) in der Zeit von 0 bis T = 2 π / ω beim Durchføießen eines Leiters mit dem OHM ’ schen Widerstand R verrichtet! (Beachte: U = I·R) 403  In einem Leiter wird durch die Wechseøspannung U (t) = U S ·sin ( ω t) der phasenverschobene Wechseø­ strom I (t) = I S ·sin ( ω t + φ ) erzeugt. Berechne die Wechseøstromarbeit W in der Zeit von 0 bis T = 2 π / ω ! Anwendungen in der Mechanik und Elektrostatik Wirkt eine „konstante“ Kraft ​ ​ _ À  f ​ längs eines Weges k der Länge s, so wird die mechanische Arbeit W = F · s verrichtet; dabei ist F der Betrag der in Wegrichtung wirkenden Kraftkomponente ​ ​ _ À  f ​ s (vgl. Buch 5.Kl. S. 244). Ist die Kraft nicht konstant und hat beim Wegpunkt s die in Wegrichtung wirkende Größe F(s) , so ist die bis dahin verrichtete Arbeit gleich dem Flächeninhalt unter der Kraft-Weg-Kurve :  W = ​ :  ​s​  1 ​ ​  ​s​  2 ​ ​F​(s) · ds Du kannst dir das Integral nämlich als Grenz- wert von RIEMANN-Summen  ​ ;  i = 1 ​  n ​ ​F(s i ) · Δ s für n ¥ • ( É Δ s ¥ 0) vorstellen, wobei F(s i )· Δ s die „bei s i “ verrichtete Arbeit ist. Erøäutere! F  3.35 Fig. 3.35 x y 0 b a s k s 0 s F = |f s | f f s s = s(a) 1 s = s(b) 2 W Beispiel G Berechne die Dehnungsarbeit beim Dehnen einer Schraubenfeder (Federkonstante k) aus der Ruheøage auf die Länge λ ! Lösung:  Nach dem HOOKE’schen Gesetz (vgø. Buch 5. Kø. S. 152): „Die Spannung(skraft) y ist zur Dehnung ø direkt proportionaø“ ist y durch eine øineare Funktion y = k·ø beschreibbar. Daher ist die gesuchte Dehnungsarbeit gegeben durch: W = ​ :  0 ​  λ ​k​·ø·dø = k·​ :  0 ​  λ ​ø​·dø = k·​  ​ø​  2 ​ _  2 ​​ †  0 ​  λ ​=​​  k·​ λ ​  2 ​ ___ 2  ​ 404  Eine Schraubenfeder (k = 150 Nm ‒1 ) ist gegenüber dem unbeøasteten Zustand um 15 cm gedehnt. Weøche Arbeit (in Jouøe) ist nötig um die Feder weitere 20 cm zu dehnen? 405  Eine eøastische Feder (Federkonstante k) hat im entspannten Zustand die Länge ø 0 . Sie wird auf die Länge ø zusammengedrückt. Berechne die Arbeit, die beim Entspannen der Feder verrichtet wird! Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv