Reichel Mathematik 8, Schulbuch

108 (Weitere) Anwendungen der Integralrechnung 3 Integralrechnung in der Physik 1. Anwendungen der Integralrechnung in der Physik kennen und nachvollziehen können Im Folgenden soll an einigen typischen Beispielen dargestellt werden, wie die Integralrechnung zu be- kannten Formeln der Physik führt und wie sie bei physikalischen Aufgaben eingesetzt werden kann. Meist können die physikalischen Größen als Flächeninhalt unter einer gewissen Kurve gedeutet werden. Dadurch ist dann der Zusammenhang zu unseren bisherigen geometrischen Anwendungen gegeben. Anwendungen in der Elektrodynamik 397 Die Funktion f: y = f (t) beschreibe eine zeitøich veränderøiche Größe. Aøs ( kontinuierøichen ) Mitteøwert von y im Intervaøø [0; T] bezeichnet man den Wert _ y . Man berechnet ihn aus der Gøeichung _ y·T = :  0   T f(t)·dt a Interpretiere diese Gøeichung geometrisch und erkøäre so, was mit _ y gemeint ist! b Ziehe einen Vergøeich mit dem arithmetischen Mitteø _ xaus den Zahøwerten x 1 , x 2 , x 3 , …, x n ! 398 Berechne die mittøere Stromstärke I von „gehacktem“ Gøeichstrom ! Beim Wechselstrom schwanken die Spannung U = U (t) ( t ist die Zeit) und die Stromstärke I = I (t) ; bei einem „reinen“ Wechselstrom verlau- fen diese Schwankungen sinusförmig: U = U S ·sin ( ω t) , I = I S ·sin ( ω t) . Den auf längere Zeit wirksamen Wert berechnet man durch Mittel bildung. a I (t) = I S · † sin t † b I (t) = I S · † sin (t/2) † c I (t) = I S · † sin ( ω t) † 399 Berechne die Ladungsmenge Q, die der Strom I(t) in der angegebenen Zeit transportiert! Die Stromstärke I eines zeitlich konstanten Stromes ist definiert durch I = Q/t . Die von einem zeitlich veränderlichen Strom während des Zeitintervalls Δ t transportierte Ladung ist daher Δ Q = I (t)·Δt . Die während der Zeit von 0 bis T transportierte Ladungsmenge ist also Q = :  0   T I(t)·dt . a I (t) = I S ·sin ( ω t); t 1 = 0, t 2 = T/4, ω = 2 π /T b I (t) = I S · † sin ( ω t) † ; t 1 = 0, t 2 = 3T/4, ω = 2 π /T 400 In Fig. 3.34 ist die Leistung P = P (t) eines Wechseøstromes dargesteøøt. Die Leistung P eines zeitlich konstanten Stromes mit der Spannung U und der Stromstärke I ist bekannt- lich durch den Wert U · I gegeben. Im Falle eines Wechselstromes ist die Wechselstromleistung P (t) = U 0 · sin ( ω t) · I 0 · sin ( ω t) . a Erkøäre, warum P nie negativ sein kann! b In der Praxis interessiert nur die mittøere Leistung _ P, das ist der jenige Wert, der auf øängere Zeit wirksam wird. Erkøäre durch geo- metrische Deutung: _ P=   1 _  T · :  0   T U 0 ·I 0 ·sin 2 ( ω t)·dt c Beweise: _ P= 1/2·U 0 ·I 0 401 Beim Føießen durch einen eøektrischen Leiter wird eine Wärmeenergie W frei, die proportionaø zur Länge ø des Leiters, zum spezifischen Widerstand ή , zur Querschnittsføäche A und zum Quadrat der Stromstärke I ist. Formuøiere diesen Zusammenhang für einen zeitøich a konstanten, b wechseønden Strom! 3.6 AN 4.3 Fig. 3.32 t y 0 T y F 3.32 F 3.33 Fig. 3.33 t I I 0 T Fig. 3.34 t P 0 P = U . I U I P Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv