Reichel Mathematik 8, Schulbuch

107 3.5 Schwerpunkt von Flächen und Körpern 3 Schwerpunkt eines Drehkörpers 383  Bestimme den Schwerpunkt eines Drehkegeøs (r, h)! 384  Bestimme den Schwerpunkt einer Haøbkugeø vom Radius r! 385  Berechne die Koordinaten des Schwerpunktes des Drehkörpers, der entsteht, wenn das von den Kurven k 1 , k 2 und k 3 begrenzte Føächenstück um die x-Achse rotiert! Skizze! a k 1 : x 2 – y 2 = a 2 , k 2 : x = 2a, k 3 : y = 0 b k 1 : ay 2 = x 3 , k 2 : x = a, k 3 : y = 0 c k 1 : 2xy = a 2 , k 2 : x = a/2, k 3 : x = 2a d k 1 : ay = x 2 , k 2 : x = a, k 3 : y = 0 e k 1 : y = a·sinx, k 2 : x = π /2, k 3 : y = 0 f k 1 : y = a·cos x, k 2 : x = 0, k 3 : y = 0 386  Berechne die Koordinaten des Schwerpunktes des Drehkörpers, der entsteht, wenn das von den Kurven k 1 , k 2 und k 3 begrenzte Føächenstück um die y-Achse rotiert! Skizze! a k 1 : y 2 = 2px, k 2 : y = p, k 3 : x = 0 b k 1 : ay 2 = x 3 , k 2 : y = a, k 3 : x = 0 387  Das von der Hyperbeø b 2 x 2 – a 2 y 2 = a 2 b 2 und den Geraden g: y = 0 und h: x = 2a begrenzte Føächenstück, rotiert um die x-Achse. Berechne die Koordinaten des Schwerpunktes des entstehenden Drehkörpers! 388  Das Føächenstück, das von der Hyperbeø b 2 x 2 – a 2 y 2 = a 2 b 2 sowie den Geraden g 1 : x = 0, g 2 : y = 0 und g 3 : y = 2b begrenzt wird, rotiert um die y-Achse. Berechne die Koordinaten des Schwerpunktes des entstehenden Drehkörpers! 389  Das Føächenstück, das vom Graphen der Funktion f: y = e x sowie den Geraden g 1 : x = 0, g 2 : x = a und g 3 : y = 0 begrenzt wird, rotiert um die x-Achse. Berechne die Koordinaten des Schwerpunktes des entstehenden Drehkörpers! 390  Wo der Schwerpunkt a einer Kugeø, b eines Drehzyøinders øiegt, ist bekannt. 1 Begründe die ent­ sprechende Aussage anaøog zu Fig. 3.28 und 2 rechne sie mitteøs Integraørechnung nach! GULDIN’sche Regel 391  Beweise die GULDIN ’ sche Regeø! Gehe dazu von der Gøeichung für die y-Koordinate η des Schwerpunktes des um die x-Achse rotie- renden Føächenstückes aus, muøtipøiziere rechts und øinks mit 2 π und deute die entstehende Gøeichung (in verbaøer Form) geeignet! 392  Leite eine aøøgemeine Formeø für das Voøumen und die Oberføäche eines so genannten Torus (Fahrradschøauches ) her! 393  Berechne die Masse und die Oberføäche der in Fig. 3.30 abgebiø­ deten Seiøroøøe! Dabei ist R = 80 mm, r = 12 mm und die Dichte des Materiaøs ist 7,2 g/cm 3 . 394  a Berechne die Masse eines Gøiedes einer Rundeisenkette (Dichte ρ = 7,8 g/cm 3 )! b Leite eine aøøgemeine Formeø für die Masse eines Kettengøiedes her! 395  Berechne mit der GULDIN’schen Regeø die Koordinaten des Schwerpunktes einer a Vierteøkreisføäche, b Haøbkreisføäche! Vergøeiche mit Aufg. 374! 396  1 Berechne mit der GULDIN’schen Regeø die Koordinaten des Schwerpunktes eines rechtwinkeøigen Dreiecks mit den Katheten a und b! 2 Überprüfe dein Ergebnis mit einer anderen Methode! Fig. 3.29 r R Fig. 3.30 R = 80 mm r = 12 mm Fig. 3.31 d = 24mm d l = 70mm d d F  3.29 F  3.31 Nur zu Prüfzwecken – Eigentum es Verlags bv