Reichel Mathematik 8, Schulbuch

106 (Weitere) Anwendungen der Integralrechnung 3 ||  371  Berechne die Lage des Schwerpunktes des Dreiecks mit den Ecken a A (0 1 0), B (4 1 0), C (4 1 4), b A (0 1 0), B (12 1 0), C (0 1 5) 1 gemäß Buch 6. Kø. S. 16, 2 mitteøs Integraørechnung! 372  Berechne die Koordinaten des Schwerpunktes des Føächenstückes unter dem Graphen der Funktion f: y = f (x) in [a; b]! a y = ‒2/3·x + 6, [0; 9] b y = 1/2·x + 4, [‒8; 0] c y = 4 – 1/4·x 2 , [0; 4] d y = 1/3·x 2 – 3, [‒3; 0] e y = (1 – x/3)·​ 9 _  x​, [0; 3] f y = (x – 4)·​ 9 _  x​, [0; 4] g y = x·​ 9 ___ x + 1​, [‒1; 0] h y = x·​ 9 ___ x – 1​, [1; 2] 373  Wie Aufg. 372. Warum kann man eine der Schwerpunktskoordinaten sofort angeben? a y = sinx, [0; π ] b y = cos x, [‒ π /2; π /2] 374  Berechne die Lage des Schwerpunktes einer a Vierteøkreisføäche, b Haøbkreisføäche! Wähøe ein geeignetes Koordinatensystem und verwende die Føächenformeø des Kreises! 375  Berechne die Lage des Schwerpunktes einer a Vierteøeøøipsenføäche, b Haøbeøøipsenføäche! Wähøe ein geeignetes Koordinatensystem und verwende die Føächenformeø der Eøøipse! 376  Berechne die Koordinaten des Schwerpunktes des trapezförmigen Føächenstückes, das von den Geraden g 1 , g 2 und g 3 sowie der x-Achse eingeschøossen wird! a g 1 : y = x + 3, g 2 : x = 0, g 3 : x = 6 b g 1 : y = 9 – x, g 2 : x = 0, g 3 : x = 6 377  Berechne die Koordinaten des Schwerpunktes des Føächenstückes, das der Graph der Funktion f: y = ‒1/8·x 3 + 3/4·x 2 , 0 ª x ª 6, und die x-Achse begrenzen! 378  Berechne die Koordinaten des Schwerpunktes des Føächenstückes, das vom Graphen der Funktion a f: y = e x , b y = e ‒x , der x-Achse und den Ordinatenøinien bei x = 0 und x = 2 eingeschøossen wird! 379  Berechne die Koordinaten des Schwerpunktes des Føächenstückes, das vom Graphen der Funktion f: y = ønx (x > 0), der x-Achse und den Geraden x = 1 und x = e 3 begrenzt wird! 380  Begründe die foøgende Formeø! Müssen dabei f und g beide nicht negativ sein? Satz Schwerpunkt eines von zwei Kurven begrenzten Føächen­ stückes: Der Schwerpunkt S ( ξ1η ) eines (øaut Figur) von den Graphen der Funktionen f und g eingeschøossenen Føächenstückes zwischen a und b ist gegeben durch: ξ = ​  ​ :  a ​  b ​x​·(f (x) – g (x))·dx ___________ ​ :  a ​  b ​(​f (x) – g (x))·dx ​ η = ​  ​  1 _  2 ​·​ :  a ​  b ​(f​  2 ​(x) – ​g​  2 ​(x))·dx ____________ ​ :  a ​  b ​(​f (x) – g (x))·dx ​ 381  Berechne unter Verwendung der Formeø in Aufg. 380 die Koordinaten des Schwerpunktes des Føächen- stückes, das von den Kurven k 1 und k 2 begrenzt wird! a k 1 : y 2 = 4 x, k 2 : 2 x – 3 y = ‒4 b k 1 : y = 4 x – x 2 , k 2 : y = 2 x – 3 c k 1 : y = x 2 – 2x – 3, k 2 : y = ‒x 2 + 6 x – 3 d k 1 : y = x 2 – 3x + 8, k 2 : y = ‒x 2 + 5 x + 2 e k 1 : y 2 = 2px, k 2 : y = kx f k 1 : y = x 2 /(2p), k 2 : y = kx g k 1 : y 2 = 2px, k 2 : x 2 = 2py h k 1 : y = x 2 /(2p), k 2 : y = x 2 /p – 2p 382  Berechne die Lage des Schwerpunktes des Dreiecks mit den Ecken a A (0 1 0), B (4 1 1), C (4 1 5), b A (0 1 0), B (12 1 1), C (0 1 5) 1 gemäß Buch 6. Kø. S. 16, 2 mitteøs Integraørechnung! x y 0 b g f a ξ η S 160197-106 Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv