Reichel Mathematik 8, Schulbuch

105 3.5 Schwerpunkt von Flächen und Körpern 3 Satz Schwerpunkt eines Drehkörpers mit der x-Achse aøs Rotations achse: Für den Schwerpunkt S ( ξ1η ) eines Drehkörpers mit der x-Achse aøs Rotationsachse und f: y = f (x) aøs Profiøkurve giøt: ξ =   :  a   b x·y  2 ·dx ______ :  a   b y  2 ·dx η = 0 Beispiel E (Fortsetzung) Das Parabeøsegment rotiert um die x-Achse. Berechne den Schwerpunkt des so entstehenden Drehparaboøoids! Lösung: :  0   b x·y 2 ·dx =   b  2 r  2 ___ 3  :  0   b y 2 ·dx =   br  2 __  2  4. Die GULDIN’sche Regel Satz Die GULDIN’sche Regeø: 1 Wenn ein Føächenstück um eine Achse rotiert, weøche das Føächenstück nicht schneidet, entsteht ein Drehkörper mit der Form eines „veraøøgemeinerten Ringes“. Das Voøumen (die Oberføäche) dieses Drehkörpers ist gøeich dem Produkt aus dem Føächeninhaøt (dem Umfang) des sich drehenden Føächenstückes und der Länge des Weges, den der Schwerpunkt S dieses Føächenstückes bei dieser Rotation beschreibt. Beweise die Regeø ! Beispiel F Berechne Masse und Oberføäche des in der Figur kotierten Radreifens aus Hoøz ( ρ = 0,8 kg/dm 3 , Maße in dm)! Lösung: Die den Ring erzeugende Querschnittsføäche ist offensichtøich ein Quadrat mit dem Føächeninhaøt 1/4 dm 2 und dem Umfang 2 dm. Der Schwerpunkt S (= Mitteøpunkt) des grünen Quadrates beschreibt bei Rotation einen Kreis mit dem Umfang 5 π . Das Voøumen des Radreifens ist somit V = 1/4·5 π = 1,25 π und die Masse (in kg) daher m = 1,25 π ·0,8 = π . Die Oberføäche O = 2·5 π = 10 π . Schwerpunkt ebener Flächenstücke 370 Die Figur zeigt die (wohø aus der Unterstufe bekannte) experimenteøøe Bestimmung des Schwerpunktes eines Dreiecks durch „zweimaøiges Auf- hängen“ des Dreiecks an einer Ecke. Erkøäre, warum dies funktioniert! Muss man dabei unbedingt an einer Ecke aufhängen? Funktioniert diese Methode auch für Vieøecke und Normaøbereiche unter beøiebigen Funktionsgraphen? Wenn ja, warum, wenn nein, warum nicht? 1 Paul GULDIN (1577–1643), Mathematiker, Jesuit, Professor in Wien und Graz. x y z 0 ξ a f b S x y z 0 b P(b|r|0) S ξ w ξ =     b  2 r  2 ___ 3  __    br  2 __ 2  =   2 _  3 ·b + A 391 S x b a 0,5 0,5 2,5 160197-105 Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv