Reichel Mathematik 8, Schulbuch

104 (Weitere) Anwendungen der Integralrechnung 3 Wir verwenden nun statt der y-Achse die x-Achse als Drehachse. Gemäß dem ersten Weg ist M x = g· η · :  a   b y·dx (*) Gemäß der zweiten Weise berechnen wir das Drehmoment des (schraffierten) i-ten Rechtecksstreifens als g·(y i · Δ x)·y i /2 – der Abstand seines Schwerpunktes von der Drehachse ist nun y i /2 –, bilden die RIEMANN-Summe und führen den Grenzübergang n ¥ 0 ( É Δ x ¥ 0) durch: g· ;  i = 1   n y i · Δ x·y i /2 w M x = g·  1 _  2 · :  a   b y 2 ·dx (**) Durch Gleichsetzen von (*) und (**) kann man das gesuchte η berechnen und erhält so: Satz Schwerpunkt eines Normaøbereichs: Für den Schwerpunkt S ( ξ1η ) der Ordinatenmenge unter f (f nicht negativ) zwischen a und b giøt: ξ =   :  a   b xy·dx ____  :  a   b y·dx η =     1 _  2 · :  a   b y  2 ·dx ______  :  a   b y·dx Beispiel E Leite eine Formeø für den Schwerpunkt eines haøben Parabeøsegments (Figur) her! Lösung: Da der Punkt (b 1 r) auf der Parabeø y 2 = 2px øiegt, giøt: r 2 = 2pb und p = r 2 /(2b). Der Parabeø bogen wird aøso beschrieben durch y 2 = r 2 /b·x, 0 ª x ª b. :  0   b y·dx =   r __  9 _ b · :  0   b 9 _  x·dx =   r __  9 _ b ·  2 _  3 · 9 __ x  3   †  0   b =  2br ___ 3  :  0   b y 2 ·dx = :  0   b   r  2 __ b ·x·dx =   r  2 __  b ·  x  2 __  2 †  0   b =  br  2 __ 2  :  0   b xy·dx = :  0   b x· “    r __  9 _ b · 9 _  x  § ·dx =   r __  9 _ b ·  2 _  5 ·x 5/2 †  0   b =  2 b  2 r ___ 5  Ergebnis: ξ =   2 b  2 r/5 ____  2br/3 , η =   br  2 /2 ____  4br/3  w S “    3b __ 5  †   3r __ 8    § 3. Schwerpunkt von Drehkörpern, deren Rotationsachse die x-Achse ist Dreht sich das Flächenstück, das von der Kurve y = f (x) , a ª x ª b , begrenzt wird, um die x-Achse, so entsteht ein Drehkörper , dessen Schwerpunkt natürlich auf der x-Achse liegt. Seine x-Koordinate ξ berechnet man nach dem oben besprochenen Prinzip wie folgt: Dreht sich der Körper um die y-Achse 1 , so ist sein Drehmoment M y = ξ ·V , wobei wir das Volumen V gemäß Kap. 3.2 berechnen können. Andererseits zerlegen wir das Grundintervall [ a ;  b ] wieder in n gleich breite Teilintervalle und approximieren den Drehkör- per durch n (schmale) Drehzylinder. Deren Volumen ist je- weils durch π ·y i 2 · Δ x gegeben. Mit diesen schmalen Zylinder- scheibchen verfahren wir nun so wie vorhin mit den schmalen Rechtecksstreifen. Bei Drehung um die y-Achse 1 ist das Drehmoment jedes einzelnen Zylinders x i · π ·y i 2 · Δ x . Durch Summenbildung (a ª x ª b) und Grenzübergang Δ x ¥ 0 ( É n ¥ • ) erhalten wir analog zu früher die gesuchte Koordinate x aus der Gleichung ξ · π · :  a   b y 2 ·dx = π · :  a   b x·y 2 ·dx 1 Beachte: Der eben behandelte Körper entsteht durch Rotation eines Flächenstückes um die x-Achse. Zur Berechnung von x muss je- doch der Körper um die y-Achse gedreht werden. x y 0 S a b y = f(x) ξ η x y 0 b P(b|r) ξ η S F 3.28 Fig. 3.28 b a S ξ x y 0 y = f(x) x i y i S i Δ x 160197-104 Nur zu Prüfzwecken – Eig ntum des Verlags öbv