Reichel Mathematik 8, Schulbuch

102 (Weitere) Anwendungen der Integralrechnung 3 Mantelfläche von Körpern Analog zur Frage nach der Länge (eindimensionaler Inhalt) einer (krummen) Linie kann man die nach dem Flächeninhalt (zweidimensionaler Inhalt) einer (krummen) Fläche stellen. Analog zur Rektifikation durch längentreues „Gerade-Biegen“ der Kurve verwendet man hier flächentreues „Abwickeln in die Ebene“, was aber nur bei wenigen krummen Flächen gelingt. Weøchen? Die Integralrechnung erlaubt nun die Berechnung der „Oberfläche“ von vielen weiteren krummen Flächen – so überhaupt ein Flä- cheninhalt existiert (vgl. den Exkurs zu diesem Kapitel ). 1. Mantelfläche eines Drehkörpers berechnen Satz Manteøføäche eines Drehkörpers mit der x-Achse aøs Rotationsachse: Ist die Funktion f: y = f (x) auf [a; b] nicht negativ, differen- zierbar und ist f’ stetig, so besitzt der Drehkörper, der durch Drehung des Graphen von f zwischen a und b um die x-Achse entsteht, eine Manteøføäche mit dem Føächeninhaøt  M = 2 π ·​ :  a ​  b ​f​(x)·​ 9 _____ 1 + (f’(x)​)​  2 ​ ​·dx Begründe diesen Satz! Wir überlegen: Wenn sich der Kurvenbogen um die x-Achse dreht, so beschreiben die Sehnen s i des approximierenden Polygonzuges die Mantelflächen von Drehkegelstümpfen. Die Summe dieser Mantel- flächen ist (bei großem n ) eine gute Approximation für die Mantelfläche des (gekrümmten) Drehkör- pers. Der Mantel des zum Intervall [x i – 1 ; x i ] gehörigen Drehkegelstumpfes ist :  M i = π ·(f (x i – 1 ) + f (x i ))·s i Den Wert für s i berechnen wir gemäß Kap. 3.3:  s i = ​ 9 ______ 1 + (f ’ ( ξ i )​)​  2 ​ ​· Δ x Wir bilden nun die Summe der Mantelflächen M i aller Kegel- stümpfe:  ​ ;  i = 1 ​  n ​M​ i = π ·​ ;  i = 1 ​  n ​(​f(x i – 1 ) + f (x i ))·​ 9 ______ 1 + (f ’ (​ ξ ​  i ​)​)​  2 ​ ​· Δ x Für n ¥ • erhält man das obige Integral. 363  Berechne die Oberføäche der Kugeø vom Radius r! (Ermittøe zuerst die Oberføäche einer Haøbkugeø!) 364  Berechne den Føächeninhaøt der Manteøføäche der Kugeøkaøotte von der Höhe h einer Kugeø vom Radius r (vgø. Fig. 3.12a auf S. 95)! 365  Wie Aufg. 364 für eine Kugeøzone von der Höhe h (vgø. Fig. 3.12b auf S. 95). 366  Berechne den Føächeninhaøt der Manteøføäche eines Drehparaboøoids von der Höhe h, das durch Drehung der Parabeø mit der Gøeichung y 2 = 2px um die x-Achse entsteht! 367  Berechne die Oberføäche des Dreheøøipsoids, das durch Drehung der Eøøipse mit der Gøeichung a x 2 + 2 y 2 = 2, b 2 x 2 + y 2 = 2 um die x-Achse entsteht! 368  Die angegebene Hyperbeø rotiert um die x-Achse. Berechne den Føächeninhaøt der Manteøføäche der Kaøotte bzw. der Zone für das angegebene Intervaøø (vgø. Fig. 3.16 auf S. 98)! a x 2 – y 2 = a 2 , [a; 5a] b y 2 – x 2 = a 2 , [‒2a; 2a] 369  Berechne den Føächeninhaøt der Zonenføäche des Drehkörpers, der entsteht, wenn die Kettenøinie mit der Gøeichung y = 1/2·(e x + e ‒x ) zwischen den Grenzen x 1 = ‒1 und x 2 = 1 um die x-Achse rotiert! 3.4 S  118 x y 1 1 0 1 y = f(x) z F  3.25 F  3.25 Fig. 3.25 x y 0 x i s i x i-1 f(x i-1 ) f(x i ) 160197-102 Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv