Reichel Mathematik 8, Schulbuch

101 3.3 Länge von Kurvenbögen 3 Satz Bogenøänge einer Kurve: Ist f: y = f (x) auf [a; b] differenzierbar und f’ auf [a; b] stetig, so besitzt der Graph von f zwischen a und b eine Bogenøänge s, die gegeben ist durch s = :  a   b 9 _____ 1 + (f’(x))  2  ·dx Beispiel D Berechne den Umfang u des Kreises mit dem Radius r! Lösung: Wir berechnen zunächst die Länge des Achteøkreises (vgø. die Figur): f: y = f (x) = 9 ____ r  2 – x  2   w f’ (x) =   ‒x _____  9 ____ r  2 – x  2 9 _____ 1 + (f’ (x))  2  = 9 _____ 1 +   x  2 ____  r  2 – x  2  =   r _____  9 ____ r  2 – x  2 :  0   r/ 9 _ 2 9 _____ 1 + (f’ (x))  2  ·dx = r· :  0   r/ 9 _ 2   dx _____  9 ____ r  2 – x  2 Wir substituieren x = r·sin t w dx = r·cos t·dt und erhaøten Obere Grenze: x = r/ 9 _ 2 w t = π /4 Untere Grenze: x = 0 w t = 0 r· :  0   π /4   r·cos t ____ r·cost ·dt = r·t †  0   π /4 =  r· π ___ 4  . Aøso ist der gesamte Kreisumfang 8· “    r· π ___  4    § = 2 r π . 357 Berechne die Länge des Bogens OP, O (0 1 0), P (4 1 8) der so genannten NEIL ’ schen Parabeø mit der Gøeichung y 2 = x 3 ! 358 Berechne die Länge der Schøeife der Kurve mit der Gøeichung 9 y 2 = (x + 1) 2 ·(x + 4)! 359 Berechne die Länge der Schøeife der Kurve mit der foøgenden Gøeichung! a 9 y 2 = x·(3 – x) 2 b 9 y 2 = (x – 4) 2 ·(x – 1) 360 Berechne die Länge des Bogens AB, A (0 1 a), B (b 1 y B ) der so genannten Kettenøinie mit der Gøeichung y = a/2·(e x/a + e ‒x/a ) mit a, b * R ! 361 Berechne die Länge der so genannten Astroide (Sternkurve) mit der Gøeichung 3 9 __ x  2  + 3 9 __ y  2  = 3 9 _ r  2   ! 362 Wenn ein køeiner Kreis k (Radius ή ) innen an einem großen Kreis K (Radius r) abroøøt, entsteht aøs Bahn- kurve 1 eines auf k øiegenden Punktes M eine so genannte Hypozykøoide . 1 Erkøäre, warum für r = 4· ή spezieøø die in Fig. 3.23 dargesteøøte Astroide entsteht! 2 Erkøäre, warum sich die Bögen der „Abroøøkurve“ niemaøs schøießen, wenn r = α · ή und α irrationaø sowie r, ή * Q ist! (Vgø. Buch 7. Kø. Aufg. 883 und 884!) 1 Derartige Kurvenuntersuchungen gehören in die so genannte Kinematik (Lehre von den Bewegungsabläufen gegeneinander beweg licher Körper), einem wichtigen Anwendungsgebiet der Geometrie in der Technik. y 0 x r r √2 45 ° 45 ° s A(0|r) B( | ) r √2 r √2 Fig. 3.23 x y 0 r F 3.23 Fig. 3.24 x y 0 r t M K k C ή F 3.24 160197-101 Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv