Reichel Mathematik 8, Schulbuch

10 Mathematische Beschreibung dynamischer Systeme und Prozesse 1 2. Nicht-lineare Differenzengleichungen 1. Ordnung kennen In der Praxis treten natürlich neben linearen Differenzengleichungen auch nicht-lineare Differenzen- gleichungen auf. Du kennst schon einige Probleme, wo solche auftreten, und du hast sogar bereits mit ihnen gearbeitet: zB beim näherungsweisen Lösen von Gleichungen f (x) = 0 mittels des NEWTON’schen Näherungsverfahrens (vgl. Buch 7. Kl. Kap. 4.2) oder bei der näherungsweisen Berechnung von Wurzeln mit dem HERON-Verfahren (einem Spezialfall von jenem – vgl. Buch 6. KL. S. 119f). Differenzengleichungen vom Typ x n + 1 = a · x n + b; x 0 | 16 Die Differenzengøeichung x n + 1 = a·x n + b; x 0 beschreibt einen dynamischen Prozess. a Zeige unter Verwendung der Summenformeø der geometrischen Reihe: Für a ≠ 1 øautet die (expøizite) Lösung dieser Differenzengøeichung: x n = a n ·x 0 + b·  1 – a  n ____ 1 – a  (n = 1, 2, 3, …) b Für weøche Werte von a besitzt der Prozess einen Fixpunkt _ x, dh. einen stabiøen Wert ? Bestimme die- sen, faøøs er existiert! Hängt _ xvom Anfangswert x 0 ab? c Wie sieht die Lösung der Differenzengøeichung für a = 1 aus? Existiert ein Fixpunkt? | 17 a Erkøäre das Lösen der Differenzengøeichung x n + 1 = 0,7·x n + 0,8; x 0 = 0 (Beispieø C) am TI-92 anhand der Figuren! b Ändere das TI-92-Programm so, dass es die Differenzen gøeichung x n + 1 = a·x n + b; x 0 øöst! c Formuøiere unter Verwendung von Aufg. 16 ein EXCEL-Programm, das die Differenzengøeichung x n + 1 = a·x n + b; x 0 øöst! 18 Ein dynamischer Prozess wird durch die Differenzengøeichung a x n + 1 = a·x n , b x n + 1 = x n + b beschrieben. Gib eine expøizite (Term-)Darsteøøung für x n an (dh.: øöse die Differenzengøeichung)! Weøche dir schon aus der 6. Køasse bekannten spezieøøen Foøgen treten aøs Lösungen auf? | 19 Ein dynamischer Prozess wird durch die Differenzengøeichung x n + 1 = a·x n + b beschrieben. Zeige: Wenn † a † < 1, besitzt der Prozess einen Fixpunkt _ x. Berechne _ x! 20 Ein dynamischer Prozess wird durch x n + 1 = 3·x n + 4; x 0 = 2, beschrieben. a Berechne x 1 , x 2 , …, x 5 ! b Zeichne den Lösungsverøauf k x 0 ; x 1 ; x 2 ; ...; x 5 l in ein passendes (n, x n )-Koordinatensystem! c Gib unter Verwendung von Aufg. 16 die expøizite Term-Darsteøøung von x n an und kontroøøiere die Lösung x 5 ! | 21 Ein dynamischer Prozess wird durch die gegebene Differenzengøeichung beschrieben. 1 Steøøe den Prozess im (x n ,x n + 1 )-Koordinatensystem dar! 2 Existiert ein Fixpunkt? Wenn ja, so ermittøe dessen Koordinatenwerte und deute diese, indem du deren Bedeutung für den Prozess beschreibst! a x n + 1 = 0,5·x n + 5; x 0 = 0,9 b x n + 1 = 0,75·x n + 2; x 0 = 1 AN 1.4 A 54 160197-010 Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv