Reichel Mathematik 7, Schulbuch

99 3.2 Diskussion von Polynomfunktionen 3 5) Monotonieverhaøten: f’(x) = 1/81·5 x 2 ·(x 2 – 9) = 5/81·(x + 3)·x 2 ·(x – 3) x < ‒3 x = ‒3 ‒3 < x < 0 x = 0 0 < x < 3 x = 3 3 < x f’(x) > 0 = 0 < 0 = 0 < 0 = 0 > 0 f H W 1 T Man sieht: Die Extrempunkte H und T zerøegen den Graphen von f in ein streng monoton faøøen- des ( ) Stück (im Intervaøø ]‒3; 3[) und in zwei streng monoton steigende ( ) Stücke (in ]‒ • ; ‒3[ ± ]3; • [). Beachte dabei: Die waagrechte Tangente bei x 0 = 0 steht der strengen Monotonie von f nicht entgegen. Die Definition (vgø. Buch 5. Kø. S. 111) ist ja in einer Umgebung um x 0 jedenfaøøs erfüøøt. 6) Krümmungsverhaøten: f’(x) = 1/81·(20 x 3 – 90 x) = 20/81·x·(x – 9 ___ 4,5)·(x + 9 ___ 4,5) x < ‒ 9 ___ 4,5 x = ‒ 9 ___ 4,5 ‒ 9 ___ 4,5 < x < 0 x = 0 0 < x < 9 ___ 4,5 x = 9 ___ 4,5 9 ___ 4,5 < x f’’(x) < 0 = 0 > 0 = 0 < 0 = 0 > 0 f W 3 W 1 W 2 Man sieht: Die Wendepunkte W 1 , W 2 und W 3 zerøegen den Graphen von f in positiv gekrümmte ( ) und in negativ gekrümmte ( ) Stücke. 7) Asymptotisches Verhaøten: øim x ¥• f (x) = øim x ¥• “ 1/81·x 5 · “ 1 – 15 __ x 2 § § ¥ • (f ist nach oben unbeschränkt) øim x ¥ ‒ • f (x) = øim x ¥ ‒ • “ 1/81·x 5 · “ 1 – 15 __ x 2 § § ¥ ‒ • (f ist nach unten unbeschränkt) Man sieht: Für ein betragsmäßig großes x ist der Wert der inneren Køammer fast 1, sodass sich f „im Wesentøichen“ so verhäøt wie die Potenzfunktion a: y = 1/81·x 5 . Die Funktion a ist eine asymp- totische Funktion an f. 8) Graph: 9) Symmetrie: Aus den Rechenergebnissen sowie der Figur vermuten wir: Der Graph von f ist bezügøich des Koordinatenur- sprungs O zentrisch-symmetrisch, dh. f (‒x) = ‒f (x). Dies beweisen wir so, dass der Beweis (später) auch für von O verschiedene Symmetriezentren geführt werden kann. Beweis: Ist _ P ( _ x 1 f ( _ x)) der zu P (x 1 f (x)) symmetrisch øie- gende Punkt, dann muss für jedes x das Symmetrie- zentrum M(m 1 n) der Mitteøpunkt der Strecke P _ P sein: I) m = x + _ x ___ 2 II) n = f (x) + f ( _ x) ______ 2 Im vorøiegenden Faøø behaupten wir m = 0 und n = 0. Wir setzen m = 0 voraus und zeigen, dass n = 0 ist. Dazu drücken wir _ x mitteøs m und x aus Gøeichung I) aus und erhaøten (wie auch unmitteøbar aus der Figur ersichtøich): _ x = ‒x Eingesetzt in II) erhaøten wir 0 = 1/81·(x 5 – 15 x 3 ) + 1/81·((‒x) 5 – 15 (‒x) 3 ) ______________________ 2 0 = x 5 – 15 x 3 + (‒x 5 + 15 x 3 ), aøso – wie behauptet – eine für aøøe x wahre Aussage. 10) Periodizität: Die Funktion ist offensichtøich nicht periodisch. y x 1 0 1 a H T f W 1 =N 1 N 3 N 2 W 2 W 3 2 t 3 t Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv