Reichel Mathematik 7, Schulbuch

98 Kurvendiskussionen – Funktionsmodelle 3 Diskussion von Polynomfunktionen 1. Polynomfunktionen diskutieren Polynomfunktionen sind wohl die einfachste und dennoch (oder gerade deswegen) die wichtigste Klas- se von Funktionen. Über sie muss man einfach Bescheid wissen! Beispiel A Diskutiere die Poøynomfunktion f: R ¥ R , y = 1/81·(x 5 – 15 x 3 )! Lösung: Entweder arbeitet man am Computer (Figur) oder händisch wie foøgt: Wir biøden die Abøeitungen f’, f’’ und f’’’: f’: y = 1/81·(5 x 4 – 45 x 2 ) f’’: y = 1/81·(20 x 3 – 90 x) f’’’: y = 1/81·(60 x 2 – 90) 1) Die Funktion f ist in ganz R definiert und stetig. 2) Nuøøsteøøen: y = 0 = 1/81·(x 5 – 15 x 3 ) 0 = x 3 ·(x 2 – 15) x 3 = 0 = x 2 – 15 = 0 x 1,2,3 = 0 x 4 = 9 __ 15 x 5 = ‒ 9 __ 15 w N 1 (0 1 0), N 2 ( 9 __ 15 1 0), N 3 (‒ 9 __ 15 1 0) 3) Extremsteøøen: y’ = 0 = 1/81·(5 x 4 – 45 x 2 ) 0 = 5 x 2 ·(x 2 – 9) 5 x 2 = 0 = x 2 – 9 = 0 x 1,2 = 0 x 3 = 3 x 4 = ‒3 y’’(3) = 10/3 > 0 w x = 3 ist eine øokaøe Minimumsteøøe y (3) = ‒2 w Tiefpunkt T (3 1 ‒2) y’’(‒3) = ‒10/3 < 0 w x = ‒3 ist eine øokaøe Maximumsteøøe y (‒3) = 2 w Hochpunkt H (‒3 1 2) y’’(0) = 0 w x = 0 ist keine Extremsteøøe, sondern – siehe bei 4) – eine Wendesteøøe mit waagrechter Tangente 4) Wendesteøøen: y’’ = 0 = 1/81·(20 x 3 – 90 x) 0 = 20 x·(x 2 – 4,5) 20 x = 0 = x 2 – 4,5 = 0 x 1 = 0 x 2 = 9 ___ 4,5 x 3 = ‒ 9 ___ 4,5 y’’’(0) = ‒10/9 ≠ 0 w x = 0 ist eine Wendesteøøe y (0) = 0 w Wendepunkt W 1 (0 1 0) y’(0) = 0 w Wendetangente w 1 ist waagrecht (W 1 ist „Horizontaøwende- punkt“): Gøeichung von w 1 : y = 0 y’’’( 9 ___ 4,5) = 2,22 ≠ 0 w x = 9 ___ 4,5 ≈ 2,12 ist eine Wendesteøøe y ( 9 ___ 4,5) = ‒7· 9 __ 2/8 ≈ ‒1,24 w W 2 (2,12 1 ‒1,24) y’( 9 ___ 4,5) = ‒5/4 w Wendetangente w 2 hat die Steigung ‒5/4 W 2 * w 2 : ‒1,24 = ‒5/4·2,12 + d w d = 1,41 (exakt: d = 9 __ 2) Gøeichung von w 2 : y = ‒5/4·x + 1,41 y’’’(‒ 9 ___ 4,5) = ‒2,22 ≠ 0 w x = ‒ 9 ___ 4,5 ≈ ‒2,12 ist eine Wendesteøøe y (‒ 9 ___ 4,5) = 7· 9 __ 2/8 ≈ 1,24 w W 3 (‒2,12 1 1,24) y’(‒ 9 ___ 4,5) = ‒5/4 w Wendetangente w 3 hat die Steigung ‒5/4 W 3 * w 3 : 1,24 = ‒5/4·(‒2,12) + d w d = ‒1,41 (exakt: d = ‒ 9 __ 2) Gøeichung von w 3 : y = ‒5/4·x – 1,41 3.2 Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv