Reichel Mathematik 7, Schulbuch

96 Kurvendiskussionen – Funktionsmodelle 3 Man sieht: Die Eigenschaften Monotonie, lokales Maximum bzw. Minimum, Krümmungsverhalten, Sym- metrie usw. einer Funktion spiegeln sich in ihren Ableitungen in charakteristischer Weise wider. Es ist also offenbar möglich, Eigenschaften (des Graphen) einer Funktion f aus ihren Ableitungen „herauszu- lesen“. Insbesondere vermuten wir (Genaueres dazu in Kap. 3.6): Satz (f’(x 0 ) = 0 ? f’’(x 0 ) < 0) w f hat bei x 0 ein øokaøes Maximum (f’(x 0 ) = 0 ? f’’(x 0 ) > 0) w f hat bei x 0 ein øokaøes Minimum Zusammengefasst unter dem Oberbegriff lokales Extremum erhält man: Satz (f’(x 0 ) = 0 ? f’’(x 0 ) ≠ 0) w f hat bei x 0 ein øokaøes Extremum Aus dieser Bedingung kann man unmittelbar eine Bedingung für die Wendestelle(n) herleiten. Dazu be- achten wir, dass das lokale Extremum von f’ die Wendestelle von f angibt . Wenden wir daher die Be- dingung für ein lokales Extremum auf f’ statt auf f an, so erhalten wir: Satz (f’’(x 0 ) = 0 ? f’’’(x 0 ) ≠ 0) w f hat bei x 0 eine Wendesteøøe Mit diesen Bedingungen findet man in der Praxis meist das Auslangen, weil ja die Wendestellen als „Nahtstellen“ zwischen den Abschnitten verschiedenen Krümmungssinns das Krümmungsverhalten von f mitbeschreiben und weil ebenso die lokalen Extrema als die „Nahtstellen“ zwischen den Monotoniebe- reichen das Monotonieverhalten von f mitbeschreiben. Doch Vorsicht! Diese Zusammenhänge und Daten wurden nur aus einem Beispiel (Graphen ) abgele- sen, aber nicht allgemein bewiesen. So gingen wir von den nicht selbstverständlichen (zusätzlichen) Vo- raussetzungen aus, dass die 1. und 2. Ableitung von f existieren und stetige Funktionen sind. Dies ist bei so wichtigen Funktionenklassen wie den Polynomfunktionen, den rationalen Funktionen, den Winkel- funktionen sowie den Exponential- und Logarithmusfunktionen im jeweiligen Definitionsbereich der Fall. Dies erlaubt uns, diese Funktionen mit Hilfe obiger Bedingungen zu diskutieren und ihre Eigen- schaften zu klassifizieren (Kap. 3.2 bis 3.5). Bei diesen Kurvendiskussionen orientieren wir uns an fol- genden Punkten (als unverbindliche Leitlinie) : 1) Umfassendste Definitionsmenge, Stetigkeit, Polstellen 2) Nullstellen 3) Extrempunkte (Hoch- und Tiefpunkte) 4) Wendepunkte (samt Wendetangenten) 5) Monotonieverhalten 6) Krümmungsverhalten 7) Asymptotisches Verhalten 8) Graph (notfalls unter Verwendung einer zusätzlichen Wertetabelle) 9) Symmetrie(beweis) 10) Periodizität(sbeweis) Dabei ist der „ergänzende“ Einsatz von (graphischen) Taschenrechnern oder von Computerprogrammen sehr zu empfehlen. Das heißt aber nicht, dass diese Hilfsmittel uns die Arbeit (des Denkens) zur Gän- ze abnehmen (können) oder sollen . Zur qualitativen Diskussion etwa der Funktion (Kurve) f: y = 5 x 2 braucht man weder die obigen Punkte 1) bis 10) alle abarbeiten noch benötigt man elektronische Hilfs- mittel: Als Zeit-Weg-Diagramm interpretiert beschreibt f: s = 5 t 2 wegen f’: v = 10 t und f’’: a = 10 eine gleichförmig beschleunigte Bewegung, weil die Beschleunigung a konstant ist. Das Zeit-Geschwindig- keits-Diagramm zeigt daher eine lineare Funktion, das Zeit-Weg-Diagramm eine Parabel. Erkøäre! F 3.2a F 3.2a Fig. 3.2b F 3.2b K 3.7 Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv