Reichel Mathematik 7, Schulbuch

95 3.0 Zusammenhang zwischen Funktionseigenschaften und Ableitungen 3 Zusammenhang zwischen Funktionseigenschaften und Ableitungen 1. Erkennen, wie sich die Eigenschaften einer Funktion in ihren Ableitungen widerspiegeln Untersucht (in Gruppen- oder Partnerarbeit) die „inneren Zusammenhänge“ zwischen den Eigen- schaften der Funktionen f: y = f (x) und ihren Abøeitungen f’ und f’’ anhand von Fig. 3.2a! Interpretiert dazu die Funktion f zB aøs Abhängigkeit der Føughöhe eines Fesseøbaøøons von der Zeit x, f’ aøs die Ge- schwindigkeit und f’’ aøs die Beschøeunigung seines Steigens bzw. Sinkens! Beschreibt diesen Zusam- menhang mit Hiøfe der in der Figur angegebenen Begriffe! Überøegt die Bedeutung der „neuen“ Be- griffe zur Beschreibung (des Graphen) der Funktion und versucht sie zu definieren! Vergøeicht danach (aber wirkøich erst danach!) mit den Ausführungen im Text! Man erkennt: 1) Eine positive Beschleunigung ( f’’ > 0 ) innerhalb eines ge- wissen Intervalls Ø (in Fig. 3.2a zwischen x 3 und x 5 ) be- wirkt eine Zunahme der Geschwindigkeit in Ø und in weiterer Folge, dass der Graph von f in Ø positiv ge- krümmt 1 ist. Eine negative Beschleunigung (eigentlich: Verzögerung f’’ < 0 ) innerhalb eines gewissen Intervalls Ø (in Fig. 3.2a zwischen x 1 und x 3 ) bewirkt eine Abnahme der Ge- schwindigkeit in Ø und in weiterer Folge, dass der Graph von f in Ø negativ gekrümmt 2 ist. 2) Bei x 3 geht die verzögerte Bewegung ( f’’ < 0 ) in eine be- schleunigte Bewegung ( f’’ > 0 ) über. Für f bedeutet das, dass sich bei x 3 das Krümmungsverhalten (der Dreh- sinn ) des Graphen von f (von negativ gekrümmt zu posi- tiv gekrümmt) ändert. Man sagt: f besitzt bei x 3 eine Wendestelle . W ist der zugehörige Wendepunkt des Graphen von f . 3) Eine positive Geschwindigkeit ( f’ > 0 ) innerhalb eines Intervalls Ø (in Fig. 3.2a zwischen x 1 und x 2 so- wie zwischen x 4 und x 5 ) bedeutet einen „Steigflug“ und bewirkt eine Zunahme der Flughöhe in Ø ; dh., f ist in Ø streng monoton steigend . Eine negative Geschwindigkeit ( f’ < 0 ) innerhalb eines Intervalls Ø (in Fig. 3.2a zwischen x 2 und x 4 ) bedeutet einen „Sinkflug“ und bewirkt eine Verringerung der Flughöhe in Ø ; dh., f ist in Ø streng mo- noton fallend . 4) Bei x 2 geht der „Steigflug“ ( f’ > 0 ) in einen „Sinkflug“ ( f’ < 0 ) über, ohne dass sich dort am negativen Krümmungsverhalten ( f’’ < 0 ) von f etwas ändert; f besitzt bei x 2 ein so genanntes lokales Maximum , welches durch eine waagrechte Tangente ( f’ = 0 ) ausgezeichnet ist. Der Punkt H ( x 2 1 f ( x 2 )) wird als ein Hochpunkt des Graphen von f bezeichnet. Bei x 4 geht der „Sinkflug“ ( f’ < 0 ) in einen „Steigflug“ ( f’ > 0 ) über, ohne dass sich dort am positiven Krümmungsverhalten ( f’’ > 0 ) von f etwas ändert; f besitzt bei x 4 ein so genanntes lokales Minimum , welches durch eine waagrechte Tangente ( f’ = 0 ) ausgezeichnet ist. Der Punkt T ( x 4 1 f ( x 4 )) wird als ein Tiefpunkt des Graphen von f bezeichnet. 5) Offenbar gilt: Der Graph von f ist zentrisch-symmetrisch mit dem Symmetriezentrum W ( x 3 1 f ( x 3 )). Der Graph von f’ ist axial-symmetrisch mit der Symmetrieachse x = x 3 . Der Graph von f’’ ist zent- risch-symmetrisch mit dem Symmetriezentrum im Punkt 3 ( x 3 1 0 ). Die Symmetrie von f scheint sich also in der Symmetrie ihrer Ableitungen widerzuspiegeln. 1 Dies entspricht der Festsetzung des mathematisch positiven Drehsinns als Drehung gegen den Uhrzeigersinn! 2 Statt „ f ist negativ (positiv) gekrümmt“ sagt man auch „ f ist konkav (konvex) zur x -Achse“. 3 Da f’’ eine Gerade beschreibt, ist neben (x 3 1 0) jeder Punkt des Graphen von f’’ Symmetriezentrum. 3.1 Fig. 3.2a 1 0 y’’ 1 1 0 1 y’ x 0 1 y x 1 x f f’ f’’ x 1 x 2 x 3 x 4 x 5 steigend f negativ f positiv gekrümmt + – fallend f str. mon. f str. mon. Wendepunkt Hochpunkt Tiefpunkt gekrümmt steigend f str. monoton Nur zu Prüfzwecken – Eigentum d s Verlags öbv