Reichel Mathematik 7, Schulbuch

94 Kurvendiskussionen – Funktionsmodelle In diesem Kapitel wirst du Eigenschaften (des Graphen) einer termdefinierten Funktion mit Hilfe der Differentialrechnung • erkennen und beweisen – was man als „Kurvendiskussion“ bezeichnet, solche Kurvendiskussionen nützen um die Eigenschaften einiger wichtiger Klassen von Funktio- • nen systematisch zu untersuchen, wie etwa die der Klasse der Polynomfunktionen, der rationalen Funktionen usw., dies nicht zuletzt um so ein Reservoir an Funktion(styp)en zu erwerben, aus dem man beim Mo- • dellieren realer Phänomene eine(n) „passende(n)“ (Typ einer) Funktion wählen und durch Bele- gen der Formvariablen geeignet anpassen kann (Stichwort: Umkehraufgaben, Funktionsmodelle). Vorschau und Vorübungen Funktionen sind ein grundlegendes Mittel, Zustände und Vorgänge zu beschreiben und (damit) besser verstehen zu lernen. In vielen Fällen – zB beim Einkommensteuersystem – sind diese Funktionen nor- mativ vorgegeben, etwa durch eine „Kurve“ (den Graphen der Funktion) oder durch eine Wertetabelle oder aber – vorzugsweise – durch eine Termdarstellung. Hier besteht die Aufgabe darin, die Eigen- schaften dieser vorgegebenen Funktion zu ermitteln und daraus auf die Eigenschaften der durch sie be- schriebenen realen oder fiktiven Situation zu schließen. In vielen anderen Fällen liegt aber umgekehrt gerade eine reale oder fiktive Situation vor, die man erst durch ein Funktionsmodell exakt oder näherungsweise beschreiben will bzw. muss – etwa die „Idee“ für die Form der neuen Sprungschanze oder für die Eigenschaften eines neuen Steuersystems (dieses Problem wird uns als Projekt durch die Kap. 3.1 bis 3.5 begleiten). Hier besteht die Aufgabe darin, eine passende Funktion zu (er-)finden und durch eine „Kurve“ (den Graphen der Funktion) oder durch eine Wertetabelle oder aber – vorzugsweise – durch eine Termdarstellung zu beschreiben. Die Ermittlung der Eigenschaften einer Funktion ist damit nicht nur von theoretischer, sondern ebenso von großer praktischer Bedeutung. Die rechnerische (graphische) Ermittlung der Eigenschaften einer vorgegebenen einstelligen Funktion y = f (x) heißt Kurvendiskussion 1 , die Ermittlung der Funktions- gleichung aus den Eigenschaften der Funktion umgekehrte Kurvendiskussion bzw. Modellbildungsauf- gabe. Letzteres ist ungleich schwieriger als Ersteres und bedarf eines großen Repertoirs an „einfachen“ Kurven und theoretischem Rüstzeug, welches wir uns in Kap. 3.1 bis 3.5 systematisch durch Kurvendis- kussionen erschließen und auch gleich an einigen anwendungsnahen Aufgaben erproben wollen. In der 5. und 6. Klasse haben wir bereits viele wichtige Funktionen(klassen) und deren Eigenschaften kennen gelernt und durch Definitionen präzisiert. Wiederhoøt dies (in Partner- oder Gruppenarbeit) unter Verwendung geeigneter Skizzen! Viele dieser Eigenschaften lassen sich aus dem Funktionsgraphen herauslesen (vgl. Buch 5. Kl. S. 109ff). Drei Probleme stellen sich dabei allerdings: – Das Zeichnen eines solchen Graphen ist ohne Compu- ter ein mühseliges Unterfangen. – Die Anschauung kann trügen; so sind zB Definitions- lücken vielfach „unsichtbar“ . – Der Ablesegenauigkeit sind Grenzen gesetzt; so ist in Fig. 3.1 nicht ersichtlich, wo genau die Funktion f ihr Maximum annimmt. Handelt es sich um eine differenzierbare Funktion f – worauf wir uns vorerst beschränken wollen –, so kann man diesen Problemen mit Hilfe der Differentialrechnung wie folgt zu Leibe rücken. 1 Analog müsste man die Diskussion einer zweistelligen Funktion eine Flächendiskussion nennen. 3.0 K 3.1 Fig. 3.1 0 1 x y Maximum - Wo ? 1 Lücke ? F 3.1 Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv