Reichel Mathematik 7, Schulbuch

89 2.7 Rückblick und Ausblick 2 329 Rechne nach, dass die Funktion f: y = ; i = 0 • x i _ i! sich seøbst aøs Abøeitung besitzt! Setze dabei voraus, dass die Summenregeø auch für unendøich vieøe Summanden giøt! 330 Eine Abbiødung heißt øinear, wenn sie Linearkombinationen der Eøemente der Urbiødmenge in Linearkombinationen der Biødeøemente überführt; dh. (a·f 1 + b·f 2 )’ = a·f 1 ’ + b·f 2 ’. Begründe, warum die Differentiation in diesem Sinn eine øineare Abbiødung ist! 331 Gib zwei Stammfunktionen an! a y = sin x + e x b y = cos x – e x 332 Das Differentiaø dy einer Funktion f bei x 0 haben wir auf S. 47 erkøärt. Berechne das Differentiaø der so ge- nannten identischen Funktion id: y = x bei x 0 und erkøäre (auch anhand einer Zeichnung), warum man (deshaøb) auch dx aøs „Differentiaø“ bezeichnen darf! 333 Ermittøe die partieøøen Abøeitungen ∂ f __ ∂ x und ∂ f __ ∂ y : a f (x, y) = 5 x 2 – 3 xy b f (x, y) = 6 xy – 7y 2 c f (x, y) = (2 x – 3 y) 2 d f (x, y) = (3 x + 2 y) 2 334 Ermittøe die partieøøen Abøeitungen nach jeder auftretenden Variabøen x, y und z! (Die Variabøen a, b und c sind Formvariabøe.) a f (x, y, z) = 4 x 2 – 3 y 2 + 6z b f (x, y, z) = 3 x – 6 y 2 + 4z 2 c f (x, y, z) = x 2 y – y 2 z 2 d f (x, y, z) = xy 2 – x 2 z 2 e f (x, y, z) = ax 3 + by 2 – cz f f (x, y, z) = ax – by 2 + cz 3 g f (x, y, z) = xy ___ x – z h f (x, y, z) = yz ___ x – y 335 Beschreibe die momentane Änderungsrate des Voøumens V a eines Drehkegeøs, b eines Drehzyøinders 1 in Abhängigkeit vom Radius r des Basiskreises, 2 in Abhängigkeit von der Höhe h! Interpretiere das Ergebnis wie in Beispieø Y und zeichne das Gitternetz des Graphen der Funktion V = V(r, h)! Vergøeiche mit Fig. 2.23! Was fäøøt dir auf? Begründe! 336 Erøäutere die angegebene Definition der partieøøen Abøeitung der Funktion f (x, y) nach x und gib die anaøoge Definition für die partieøøe Abøeitung nach y an! ∂ f __ ∂ x = øim Δ x ¥ 0 f(x 0 + Δ x, y 0 ) – f(x 0 , y 0 ) _____________ Δ x 337 Begründe anhand von Fig. 2.24, warum die zweisteøøige Funktion f (x, y) an der Steøøe (x 0 1 y 0 ) keine Tangentiaøebene besitzt! Erkøäre die Begriffe „Spitze“ und „Gratpunkt“! Fig. 2.24a P(x 0 |y 0 |f(x 0 ,y 0 )) y x f(x,y) Fig. 2.24b y x f(x,y) P(x 0 |y 0 |f(x 0 ,y 0 )) 338 Du kennst aus der 5. Køasse einige Funktionen, die sich a an genau einer Steøøe, b an genau zwei Steøøen, c an unendøich vieøen Steøøen ihres Definitionsbereichs nicht differenzieren øassen! Gib jeweiøs ein Beispieø und begründe an einer Skizze! Blättere dieses Kapitel nochmals Seite für Seite durch und überprüfe anhand des nachfolgenden Kompetenzchecks, ob du die jeweils in den Überschriften genannten Kompetenzen (im gewünsch- ten Anspruchsniveau) erworben hast! Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv