Reichel Mathematik 7, Schulbuch

88 Differentialrechnung 2 In Verallgemeinerung von Beispiel Y gilt: Man kann eine mehrstellige Funktion nach einer Variablen differenzieren, indem man vorübergehend die anderen Variablen als konstant – also als Formvariablen – ansieht. Um hervorzuheben, dass es sich um einen anderen Ableitungsbegriff handelt, spricht man von einer partiellen Ableitung und verwendet im Differentialoperator statt d das Symbol ∂ . Im Beispiel Y sollte man daher eigentlich schreiben: ∂ A __ ∂ r = r· α bzw. ∂ A __ ∂ α = r 2 __ 2 Fig. 2.23 zeigt einen Ausschnitt des kartesi- schen Graphen der zweistelligen Funktion A (r, α ) = r 2 · α /2 aus Beispiel Y in Form eines Gitternetzes , das aus zwei Scharen von Git- terlinien besteht: – Die Gitterlinien der grünen Schar erhält man, indem man α als fest, also nur als Formvariable auffasst. Zu jedem fest ge- wählten Wert α * R + 0 gehört dann genau eine grüne Gitterlinie, die durch die ein- stellige Funktion A (r) = a·r 2 mit a = α /2 be- schrieben wird. Die grünen Gitterlinien sind daher (mit Ausnahme von α = 0 ) durchwegs Parabeln. – Die Gitterlinien der schwarzen Schar erhält man, indem man nun r als fest, also als Formvariable auffasst. Zu jedem fest ge- wählten Wert r * R + 0 gehört dann genau eine schwarze Gitterlinie, die durch die einstellige Funktion A ( α ) = k· α mit k = r 2 /2 beschrieben wird. Die schwarzen Gitterlini- en sind daher durchwegs Geraden 1 . Die in Beispiel Y berechneten partiellen Ablei- tungen geben die Steigung der Tangenten an die grünen bzw. schwarzen Gitterlinien an – ∂ A __ ∂ r (r 0 ) an die grüne, ∂ A __ ∂ α ( α 0 ) an die schwarze Gitterlinie im Punkt P (r 0 1α 0 1 A(r 0 , α 0 )) . Die beiden Tangenten spannen ihrerseits die Tangentialebene im Punkt P (r 0 1α 0 1 A(r 0 , α 0 )) des Graphen der Funktion A = A(r, α ) auf (hellblaue Ebene ). Diese Tangentialebene ist dort in der gleichen Weise die „bestmögliche“ lineare Approximation des Graphen der zweistelligen Funktion, wie es die Tangente bei den Graphen einstelliger Funktionen ist. Analoges gilt für drei- und mehrstellige Funktionen. Wir können daher abschließend feststellen: Die Differentialrechnung einstelliger reeller Funktionen kann unschwer auf mehrstellige Funktionen übertragen werden, indem man diese in „einstellige Funk- tionen zerlegt“. Insofern ist die Differentiation einstelliger Funktionen grundlegend, und insofern ist es gerechtfertigt, wenn wir uns im folgenden Abschnitt 3 ausschließlich auf die Untersuchung einstelliger Funktionen beschränken. 1 Neben den (Dreh-)Kegeln und (Dreh-)Zylindern gibt es offensichtlich weitere krumme Flächen, die Geraden „tragen“ und durch diese „erzeugt“ werden können. Die hier besprochene Fläche heißt hyperbolisches Paraboloid . Fig. 2.23 r 0 1 0 1 0 r r 1 ñ ñ ñ P A(r, ð ) A(r, ð ) 0 F 2.23 K 5.10 Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv