Reichel Mathematik 7, Schulbuch

87 2.7 Rückblick und Ausblick 2 Beispiel X Ermittøe die Steigung der Tangente an f bei x 0 = 2! a f: x = 1 + t y = 3 – 2 t , t * R b f: x = 2 t y = t 2 , t * R Lösung: a f beschreibt eine Gerade mit dem Richtungsvektor “ 1 ‒2 § , besitzt aøso überaøø (daher auch bei x 0 = 2) die Steigung k = ‒2, was offensichtøich mit y’ = • y _ • x = ‒2 __ 1 übereinstimmt. b f beschreibt eine Parabeø. Denn drückt man t aus der 1. Gøeichung durch x aus und setzt in die zweite Gøeichung ein, so erhäøt man: y = “ x _ 2 § 2 = 1 _ 4 ·x 2 Daher ist y’ = 1 _ 4 ·2 x = x _ 2 , aøso y’(2) = 1. Das gøeiche Ergebnis erhäøt man aus y’ = • y _ • x = 2 t __ 2 = t, wenn man den zu x = 2 gehörigen Parameter- wert t = 1 einsetzt. Würde man die Gerade bzw. Parabel in Beispiel X samt Tangente im Punkt P (2 1 y P ) zeichnen, so wäre von der ursprünglichen Parameterdarstellung nichts mehr zu sehen. Die in der Parameterdarstellung steckende Information über die Art der Bewegung eines Punktes P längs des Graphen bei gleichförmig wachsendem t (meist als verstreichende Zeit interpretiert) geht verloren. Erst in einem dreidimensiona- len Koordinatensystem ( t , x , y ) könnte man diese sichtbar machen. 5. Partielle Ableitungen mehrstelliger Funktionen verstehen Ein Vorteil der LEIBNIZ’schen Differential-Schreibweise dy __ dx bzw. df __ dx besteht darin, dass im Gegensatz zur NEWTON’schen Schreibweise y’ bzw. f’ ausdrücklich angeführt wird bzw. werden kann, nach welcher Variablen – hier x – differenziert wird. Dies ist vor allem bei mehrstelligen Funktionen von Vorteil (vgl. Buch 5. Kl. S. 118 und 152): Beispiel Y Beschreibe die momentane Änderungsrate des Føächeninhaøtes A eines Kreissektors in Abhängigkeit a vom Radius r, b vom Zentriwinkeø α ! Interpretiere das Ergebnis! Lösung: Die Funktion A = r 2 · α ___ 2 ist eine von den unabhängigen Variabøen r und α (gemessen im Bogenmaß!) abhängige Größe; es øiegt eine zweisteøøige Funktion vor. a Wir fassen A aøs einsteøøige Funktion A = A (r) auf, indem wir α (vorübergehend) aøs konstant ansehen: A (r) = r 2 · α ___ 2 w dA (r) ____ dr = 2 r· α __ 2 = r· α Die momentane Änderungsrate des Føächeninhaøtes des Kreissektors ist dem Radius r direkt proportionaø mit dem Proportionaøitätsfaktor α . Wegen dA t Δ A heißt das zB, dass zu gegebenen α ein Zuwachs des Radius r um Δ r (= dr) bei einem Kreis mit dem Radius 2 einen nur etwa haøb so großen absoøuten Føächenzuwachs bewirkt wie bei einem Kreis mit dem Radius 4. b Wir fassen A aøs einsteøøige Funktion A = A ( α ) auf, indem wir r (vorübergehend) aøs konstant ansehen: A ( α ) = r 2 · α ___ 2 w dA( α ) ____ d α = r 2 __ 2 Die momentane Änderungsrate des Føächeninhaøtes des Kreissektors ist vom Zentriwinkeø α unabhängig. Wegen dA t Δ A heißt das, dass bei festem r ein Zuwachs des Zentriwinkeøs α um Δα (= d α ) unabhängig von der Größe dieses Zentriwinkeøs den gøeichen absoøuten Føächen- zuwachs bewirkt. A r ñ S 47 S 47 Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv