Reichel Mathematik 7, Schulbuch

86 Differentialrechnung 2 4. Die Differentialrechnung als Kalkül begreifen Die Ermittlung der Ableitung unmittelbar aus der Definition durch Berechnen von Grenzwerten ist müh- sam. Zum Glück ist sie nur für gewisse grundlegende Funktionen wie die Potenzfunktionen, die Sinus- funktion oder die Logarithmusfunktion unvermeidbar. Bei „komplizierten“ Funktionen, die sich durch Verknüpfen oder Verketten aus diesen Grundfunktionen bilden lassen, sind wir ja anders vorge- gangen. Wir haben die Ableitungen mittels der in Kap. 2.4 hergeleiteten Differentiationsregeln wie zB der Summenregel oder der Kettenregel gebildet. Im Prinzip handelt es sich dabei um Vertauschungsregeln . Erøäutere anhand von Fig. 2.22 für die Summenregeø! Fig. 2.22 f 2 f 2 ’ f 1 f 1 ’ f 1 + f 2 (f 1 + f 2 )’ = f 1 ’ + f 2 ’ Man sieht: Die Summenregel (f 1 + f 2 )’ = f 1 ’ + f 2 ’ besagt, dass man das gleiche Ergebnis erhält, ob man zu- erst die Summe bildet und dann differenziert, oder ob man zuerst differenziert und dann die Summe bildet. Summieren und Differenzieren sind also (in der Reihenfolge ihrer Anwendung) vertauschbar. Mit Hilfe des Differentialoperators d __ dx bzw. der Differentiale dy und dx kann man diese Feststellung auch notieren als d __ dx (f 1 (x) + f 2 (x)) = d __ dx f 1 (x) + d __ dx f 2 (x) oder als df __ dx = df 1 ___ dx + df 2 ___ dx É df = df 1 + df 2 Die rechte Seite der oberen Darstellung entsteht aus der linken sozusagen durch „Ausmultiplizieren ge- mäß dem Distributivgesetz“. Die rechte Gleichung der unteren Darstellung entsteht aus der linken durch Multiplikation mit dx . Wir dürfen daher – zu Recht! – vermuten, dass man mit Differentialoperatoren und Differentialen ähnlich wie mit gewöhnlichen Variablen rechnen kann. Die Differentialrechnung wird so zu einem rein algebraischen Kalkül, von denen wir schon einige kennen: Den Kalkül des Rech- nens mit ganzen Zahlen (Vgl. Buch 5. Kl. Kap. 2: „Ganzzahlarithmetik“), mit den (schon aus der Unter- stufe geläufigen) Bruchzahlen, mit den reellen Zahlen und mit komplexen Zahlen. Auch das Rechnen mit Vektoren bildet einen Kalkül. Auf das Rechnen mit Differentialen stützen wir uns insbe- sondere beim Ableiten von Funktionen, die in Parameter- darstellung vorliegen . Ist f in der Form x = x (t) , y = y (t) gegeben, so ist wegen y’ = dy __ dx = dy __ dt __ dx __ dt = • y _ • x die Ableitung y’ von f als Quotient von dy/dt und dx/dt be- rechenbar, wobei man üblicherweise für dy/dt = • y und für dx/dt = • x schreibt. 1 1 Mit dem Punktsymbol wird üblicherweise angezeigt, dass nach dem Parameter t (meist die Zeit) differenziert wird. Mit dem bisher verwendeten Strichsymbol zeigt man üblicherweise an, dass nach x differenziert wird. K 2.3 K 2.5 A 332 K 1 S 50 Nur zu Prüfzwecken – Eige tum des Verlags öbv