Reichel Mathematik 7, Schulbuch

79 2.6 Höhere Ableitungen 2 Höhere Ableitungen 1. Bedeutung(en) höherer Ableitungen verstehen Rein formal könnte man auf die Idee kommen, die Ableitungsfunktion f’ einer Funktion noch einmal zu differenzieren. Es ist naheliegend, diese Funktion (f’)’ mit f’’ (sprich f zwei Strich) zu beschriften und als zweite Ableitung zu bezeichnen; die Ableitung f’ ist demgemäß nunmehr die erste Ableitung von f . Rein formal könnte man aus dieser Funktion f’’ durch nochmaliges Differenzieren die Funktion f’’’ , aus dieser die vierte Ableitung f IV , aus dieser die fünfte Ableitung f V usw. bilden. Zwei Fragen erheben sich in diesem Zusammenhang: – Erstens: Ist dies sinnvoll – dh., haben die so gewonnenen Funktionen eine praktische Bedeutung (ähnlich der der 1. Ableitung als Momentangeschwindigkeit bzw. als Tangentensteigung)? Die Antwort ist ja. Erinnere dich: Die 1. Ableitung f’(x) = dy/dx gibt die momentane Änderungsrate für die Funktionswerte y = f (x) der Funktion f an . Demgemäß gibt die 2. Ableitung f’’(x) = (f’)’(x) = df ’ (x) ____ dx = d 2 f __ dx 2 = d 2 y ___ dx 2 (lies: d zwei y nach dx Quadrat) 1 die momentane Änderungsrate eben dieser momentanen Änderungsrate an. Interpretiert man f’ als Momentangeschwindigkeit, so hat f’’ die Bedeutung der momentanen Ände- rungsrate eben dieser Momentangeschwindigkeit. Man bezeichnet sie als Momentanbeschleunigung . Neben der 1. und 2. Ableitung könnte man auch noch die 3. Ableitung f’’’ betrachten: Was gibt die 3. Abøeitung an? Die momentane Änderungsrate der Momentanbeschleunigung – eine Größe, die in der Technik durch- aus praktische Bedeutung hat! – Zweitens: Gibt es Funktionen, die sich zwar einmal, aber kein zweites Mal differenzieren lassen? Gibt es Funktionen, die sich nirgendwo in ihrem Definitionsbereich differenzieren lassen? Gibt es Funktionen, die sich bis auf einzelne Punkte in ihrem Definitionsbereich differenzieren lassen? Du kennst solche Funktionen. Nenne Beispieøe ! Gibt es andererseits Funktionen, die sich unendlich oft differenzieren lassen? Gibt es Verfahren, welche es gestatten, die gewünschte – zB dritte – Ableitung möglichst „sofort“ hinzuschreiben (also ohne zuvor die 1. und 2. Ableitung berechnet zu haben)? 2. Höhere Ableitungen bilden Beispiel U Biøde zu f: y = sinx 1 f’, 2 f’’, 3 f’’’, 4 f IV , 5 f V , 6 f VI , 7 f VII , 8 f VIII ! Lösung: 1 f’(x) = cos x 5 f V (x) = (f IV )’(x) = cos x 2 f’’(x) = (f’)’(x) = ‒sinx 6 f VI (x) = (f V )’(x) = ‒sinx 3 f’’’(x) = (f’’)’(x) = ‒cos x 7 f VII (x) = (f VI )’(x) = ‒cos x 4 f IV (x) = (f’’’)’(x) = sinx 8 f VIII (x) = (f VII )’(x) = sinx Man sieht: Die Ergebnisse wiederholen sich mit der „Periodenlänge“ 4 . Die Sinusfunktion lässt sich also beliebig oft differenzieren und alle Ableitungen sind von der Nullfunktion y = 0 verschieden. Erkennst du das Biødungsgesetz 2 für die k-te Abøeitung f (k) der Sinus-Funktion? Wie øautet es? 1 Beachte, dass die letzte Schreibweise genauso ein Symbol ist, wie es die anderen Bezeichnungen sind; die „Hochzahl“ 2 bedeutet trotz der Exponentenschreibweise kein „Quadrieren“, sondern symbolisiert das zweimalige Bilden des Differentialquotienten. 2 Zwecks Unterscheidung von der k-ten Potenz wird bei der k-ten Ableitung die Hochzahl eingeklammert. 2.6 S 53 K 2.2 A 338 Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv