Reichel Mathematik 7, Schulbuch

76 Differentialrechnung 2 Regel Abøeitung der Arcussinusfunktion: Die Funktion f: [‒1; 1] ¥ R , y = arcsinx besitzt die Abøeitung f’: ]‒1; 1[ ¥ R , y = 1 ____ 9 ___ 1 – x 2 Abøeitungsregeø: (arcsinx)’ = 1 ____ 9 __ 1 – x 2 In analoger Weise kann man die Ableitungen der Funktionen y = arccos x , y = arctan x und y = arccot x ermitteln ! Regel Abøeitung der Arcuscosinusfunktion: Die Funktion f: [‒1; 1] ¥ R , y = arccos x besitzt die Abøeitung f’: ]‒1; 1[ ¥ R , y = ‒1 ____ 9 ___ 1 – x 2 Abøeitungsregeø: (arccos x)’ = ‒1 ____ 9 __ 1 – x 2 Regel Abøeitung der Arcustangensfunktion: Die Funktion f: R ¥ ]‒ π _ 2 ; π _ 2 [, y = arctanx besitzt die Abøeitung f’: R ¥ R , y = 1 ____ 1 + x 2 Abøeitungsregeø: (arctanx)’ = 1 ____ 1 + x 2 Beispiel T Biøde die Abøeitung von a y = 4·arctan3 x 2 ohne Vereinfachung, b y = arccos (cos x) mit Vereinfachung! Lösung (unter Verwendung der Kettenregeø): a y’ = 4· 1 ______ 1 + (3 x 2 ) 2 ·(3·2 x) b y’ = ‒1 ______ 9 _______ 1 – cos 2 x · (‒sinx) = sinx ___ sinx = 1 oder kürzer: y = x w y’ = 1 5. Regeln zusammenfassen Die folgende Tabelle enthält die Ableitungsregeln für einige grundlegende Funktionen. Ergänze die Tabeøøe gegebenenfaøøs und øerne sie gewissenhaft auswendig! Du wirst sie „auf Schritt und Tritt“ – besonders auch in der 8. Klasse – benötigen! Regel Gegebene Funktion (Stammfunktion) Ableitung y = d y’ = 0 y = kx + d y’ = k y = x n n * R y’ = n·x n – 1 y = a øog x y’ = 1 ____ x·øn a y = øn x y’ = 1 _ x y = a x y’ = a x ·øn a y = e x y’ = e x y = sin x y’ = cos x y = cos x y’ = ‒sin x y = tan x y’ = 1 ____ cos 2 x y = cot x y’ = 1 ____ ‒ sin 2 x Bemerkung: Die Ableitungsregel für Potenzfunktionen y = x n haben wir bisher nur für n * Q bewiesen. Da sich jede reelle Zahl beliebig genau durch rationale Zahlen annähern lässt, gilt die Regel auch für n * R . A 310 A 311 A 270 Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv