Reichel Mathematik 7, Schulbuch

75 2.5 Ableitung weiterer wichtiger Funktionen 2 3. Winkelfunktionen ableiten Aus Kap. 2.3 kennen wir die Ableitung der Sinusfunktion (und der Cosinusfunktion). Aufgrund der in der 5. Klasse gelernten Beziehungen zwischen den Winkelfunktionen (vgl. Buch 5. Kl. S. 200 f), kann man jede Winkelfunktion durch die Sinusfunktion ausdrücken. Durch Differenzieren dieser zusammen- gesetzten Funktionen erhält man die nachfolgenden Formeln: Überøege, weøche Beziehung (en) du (besonders vorteiøhaft) verwenden kannst, und øeite die Abøei- tungsregeøn seøbst her ! Regel Abøeitung der Tangensfunktion: Die Funktion f: R \{ π /2 + k· π , k * Z } ¥ R , y = tanx besitzt die Abøeitungsfunktion f’: R \{ π /2 + k· π , k * Z } ¥ R , y = 1 ____ cos 2 x = 1 + tan 2 x. Abøeitungsregeø: (tanx)’ = 1 ____ cos 2 x = 1 + tan 2 x Regel Abøeitung der Cotangensfunktion: Die Funktion f: R \{k· π , k * Z } ¥ R , y = cot x besitzt die Abøeitungsfunktion f’: R \{k· π , k * Z } ¥ R , y = 1 ____ ‒sin 2 x = ‒(1 + cot 2 x). Abøeitungsregeø: (cot x)’ = 1 ____ ‒sin 2 x = ‒ (1 + cot 2 x) Bemerkung: Beachte, dass tan und cot Polstellen (Asymptoten sind senkrechte Tangenten) besitzen. Da- her haben tan’ und cot’ dort ebenfalls Polstellen. Beispiel R Differenziere y = cot 3 x – tan2 x! Überøege mehrere Wege! Lösung: An Wegen bieten sich zB an: 1 Direkte Anwendung der obigen Regeøn unter Anwendung der Kettenregeø y’ = 3·cot 2 x· 1 ____ ‒sin 2 x – 1 _____ cos 2 2 x ·2 2 Zuerst Umwandøung des Cotangens in den Tangens oder umgekehrt, dann wie 1 3 Zuerst Rückführung des Tangens und Cotangens auf den Sinus und Cosinus y = “ cos x ___ sinx § 3 – sin2 x ____ cos 2 x = “ cos x ___ sinx § 3 – 2·sinx·cos x ________ cos 2 x – sin 2 x … nicht sehr einøadend 4 Zuerst Umformung mitteøs des Additionstheorems für tan2 x zu y = cot 3 x – 2·tanx ______ 1 – tan 2 x … auch nicht empfehøenswert 4. Kreisfunktionen ableiten Die Kreisfunktionen sind die Umkehrfunktionen der Winkelfunktionen und lassen sich demgemäß ab- leiten: Beispiel S Differenziere y = arcsinx! Lösung: y = arcsinx Übergang zur Umkehrfunktion sin y = x impøizit differenzieren cos y·y’ = 1 y’ expøizit machen y’ = 1 ___ cos y cos y durch sin y ausdrücken y’ = 1 ______ 9 _____ 1 – sin 2 y Gemäß Zeiøe 2 drücken wir sin y durch x aus y’ = 1 ____ 9 ___ 1 – x 2 A 308 A 309 + Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv