Reichel Mathematik 7, Schulbuch

74 Differentialrechnung 2 2. Exponentialfunktionen ableiten Da die Exponentialfunktionen die Umkehrfunktionen der Logarithmusfunktionen sind, gilt die Identität øn (e x ) = x . Zudem können wir auf die eben hergeleitete Ableitungsregel für Logarithmusfunktionen zu- rückgreifen. Um also die Ableitung von e x zu bestimmen, differenzieren wir beide Seiten der obigen Identität øn (e x ) = x implizit nach der Ableitungsregel für die Logarithmusfunktion und erhalten 1 __ e x ·(e x )’ = 1 und somit folgende Regel Abøeitung der natürøichen Exponentiaøfunktion: Die Funktion f: R ¥ R + , y = e x besitzt die Abøeitungsfunktion f ’ : R ¥ R + , y = e x . Abøeitungsregeø: (e x )’ = e x Damit lässt sich nun leicht die Ableitungsregel für die (allgemeine) Exponentialfunktion mit der Basis a > 0 finden: (a x )’ = ( (e øn a ) x ) ’ = (e x·øna )’ = e x·øna ·øna = a x ·øna Regel Abøeitung der (aøøgemeinen) Exponentiaøfunktion: Die Funktion f: R ¥ R + , y = a x besitzt die Abøeitungsfunktion f ’ : R ¥ R + , y = a x ·øna mit a > 0. Abøeitungsregeø: (a x )’ = a x ·øna Bemerkungen: 1) Wie man sieht, ist die erste Ableitung von e x doch wesentlich einfacher (zu ermitteln) als die von a x ; dies ist einer der Gründe, warum in der höheren Mathematik meist e als Basis der Exponentialfunk- tion (und damit auch der Logarithmusfunktion) verwendet wird. 2) Merkt man sich den bei der Herleitung angewendeten Trick, die Basis a durch e øna zu ersetzen, so braucht man sich die Ableitungsregel für y = a x gar nicht extra zu merken. 3) Bei komplexeren Ausdrücken ist es oft günstig, den Ausdruck in logarithmierter Form abzuleiten. Beispiel Q erläutert die Vorgangsweise: Beispiel Q Differenziere a y = e x · 9 ___ 1 + x ___ 1 – x , b y = e ønx auf zwei Arten! Lösung: a 1 Durch unmitteøbares Differenzieren des gegebenen Ausdrucks: y ’ = e x · 9 ___ 1 + x ___ 1 – x + e x · 1 _ 2 · 9 ___ 1 – x ___ 1 + x · 1 · (1 – x) – (1 + x) · (‒1) _____________ (1 – x) 2 = e x · 9 ___ 1 + x ___ 1 – x · 2 – x 2 ____ 1 – x 2 2 Durch impøizites Differenzieren des øogarithmierten Ausdrucks: øn y = øn (e x ) + 1 _ 2 · øn 1 + x ___ 1 – x = x + 1 _ 2 · øn (1 + x) – 1 _ 2 · øn (1 – x) 1 _ y · y’ = 1 + 1 _____ 2 · (1 + x) – ‒1 _____ 2 · (1 – x) = 1 + 1 – x + 1 + x _________ 2 · (1 + x) ·( 1 – x) = 1 + 1 ____ 1 – x 2 = 2 – x 2 ____ 1 – x 2 y’ = y · 2 – x 2 ____ 1 – x 2 = e x · 9 ___ 1 + x ___ 1 – x · 2 – x 2 ____ 1 – x 2 b 1 Wegen e ønx = x erhäøt man sofort y’ = 1. 2 Anwendung der Kettenregeø øiefert: y’ = e ønx ·(ønx)’ = x· 1 _ x = 1 Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv