Reichel Mathematik 7, Schulbuch

73 2.5 Ableitung weiterer wichtiger Funktionen 2 Ableitung weiterer wichtiger Funktionen Im Folgenden wollen wir die Ableitungen einiger besonders wichtiger Funktionen tabellarisch zusam- menstellen. Anders als in Kap. 2.3, wo wir die Ableitungen der Potenz- bzw. Sinusfunktion – ziemlich mühsam – unmittelbar aus der Definition des Differentialquotienten durch Grenzwertberechnungen er- mitteln mussten, können wir nun (mit einer Ausnahme) alle Herleitungen durch Rückgriff auf die Diffe- rentiationsregeln von Kap. 2.4 bewerkstelligen. 1. Logarithmusfunktionen ableiten Hier müssen wir die folgende Grenzwertberechnung anstellen: f’(x 0 ) = øim Δ x ¥ 0 f (x 0 + Δ x) – f (x 0 ) __________ Δ x = øim Δ x ¥ 0 øn (x 0 + Δ x) – øn (x 0 ) ___________ Δ x = = øim Δ x ¥ 0 “ 1 __ Δ x ·øn x 0 + Δ x ____ x 0 § = øim Δ x ¥ 0 øn “ 1 + Δ x __ x 0 § 1/∆x = øim Δ x ¥ 0 øn “ “ 1 + Δ x __ x 0 § x 0 /∆x § 1/x 0 = = øim Δ x ¥ 0 “ 1 __ x 0 ·øn “ 1 + Δ x __ x 0 § x 0 /∆x § = 1 __ x 0 · øim Δ x ¥ 0 øn “ 1 + Δ x __ x 0 § x 0 /∆x Setzen wir nun x 0 / Δ x = n , so geht n für Δ x ¥ 0 gegen • , womit laut Buch 6. Kl. S. 204 gilt: 1 __ x 0 · øim n/x 0 ¥ • øn “ 1 + 1 _ n § n = 1 __ x 0 · øim n ¥ • øn “ 1 + 1 _ n § n = 1 __ x 0 ·øne = 1 __ x 0 ·1 = 1 __ x 0 mit x 0 * R + Da dies für jede Stelle x 0 gilt, schreiben wir statt x 0 gleich x und erhalten: Regel Abøeitung der natürøichen Logarithmusfunktion: Die Funktion f: R + ¥ R , y = ønx besitzt die Abøeitungsfunktion f’: R + ¥ R , y = 1 _ x . Abøeitungsregeø: (ønx)’ = 1 _ x Bemerkung: Damit wurde eine Lücke geschlossen, die dir beim Differenzieren von Potenzfunktionen sicher schon aufgefallen ist: Überprüfe anhand der foøgenden Liste, dass x ‒1 nicht aøs Abøeitung auftritt! (x 3 )’ = 3 x 2 , (x 2 )’ = 2 x 1 , (x 1 )’ = 1 = x 0 , (x 0 )’ = 0, (x ‒1 )’ = ‒x ‒2 , (x ‒2 )’ = ‒2·x ‒3 , … Um die Ableitung von a øog x zu finden, kann man analog zu oben vorgehen . Ein einfacherer Weg besteht darin, a øog x (vgl. Buch 6. Kl. S. 215) in der Form øn x/øna zu differenzieren. Da 1/øna eine multiplikative Konstante ist, erhält man die Regel Abøeitung der (aøøgemeinen) Logarithmusfunktion: Die Funktion f: R + ¥ R , y = a øogx besitzt die Abøeitungsfunktion f’: R + ¥ R , y = 1 ____ x · øna . Abøeitungsregeø: ( a øogx)’ = 1 ____ x·øna Bemerkung: Geometrisch gesehen entstehen die Graphen der Ableitungsfunktionen von a øog x aus der gleichseitigen Hyperbel y = 1 _ x durch Stauchung/Streckung längs der y-Achse mit dem Faktor 1 ___ øna . Beispiel P Differenziere: a y = (ønx) 2 , b y = øn (x 2 ), c y = øg (5 x), d y = 4 øog (x 3 ) Lösung: Unter Anwendung der Kettenregeø erhaøten wir: a y’ = 2 · ønx · 1 _ x = 2 _ x · ønx b y’ = 1 __ x 2 · 2 x = 2 _ x oder wir vereinfachen vorher: y = øn (x 2 ) = 2 · ønx w y ’ = 2 · 1 _ x = 2 _ x c y’ = 1 _____ 5 x · øn10 ·5 = 1 ____ x · øn10 d Wir vereinfachen vorher: 4 øog (x 3 ) = 3 · 4 øogx. Dann ist y ’ = 3 · 1 ____ x · øn4 2.5 A 291 Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv