Reichel Mathematik 7, Schulbuch

7 1.1 Einführung (Definition) komplexer Zahlen 1 2. Grundrechenoperationen mit komplexen Zahlen durchführen Bei den folgenden Definitionen der Grundrechenoperationen für komplexe Zahlen a + bi lassen wir uns vom Rechnen mit Binomen leiten (vgl. die Probe für x 1 ). Versuche im Foøgenden stets zuerst seøbst anhand der Beispieøe die formaøen Definitionen zu (er)fin- den! Begründe (an einem Beispieø), warum diese Definitionen mit den entsprechenden Rechen- operationen reeøøer Zahøen verträgøich sind ! Wie øassen sich die Definitionen der Grundrechen- operationen in C für das Programmieren dieser Operationen nützen? a Addition Beispiel a (3 – 5 i) + (2 + 4 i) = (3 + 2) + (‒5 + 4)·i = 5 – i b (1 + 2 i) + (‒1 – i) = 0 + i = i Definition (a + bi) + (c + di) = (a + c) + (b + d)·i b Subtraktion Beispiel a (2 + i) – 3 i = 2 + (1 – 3)·i = 2 – 2 i b (1 – 2 i) – (‒1 – 2 i) = 2 + 0 i = 2 Definition (a + bi) – (c + di) = (a – c) + (b – d)·i c Multiplikation Beispiel a (4 + 7 i)·(3 – 2 i) = 4·3 + 7 i·3 – 4·2 i – 7 i·2 i = 12 + 21 i – 8 i – 14 i 2 = (12 – (‒14)) + (21 – 8)·i = 26 + 13 i b (3 + 4 i)·(3 – 4 i) = 9 + 12 i – 12 i – 16 i 2 = 9 + 16 = 25 Definition (a + bi)·(c + di) = (ac – bd) + (bc + ad)·i Merkregel: Klammern „wie gewohnt“ ausmultiplizieren und i 2 = ‒1 setzen. d Division Beispiel a 5 + 5 i ____ 1 + 2 i = 5 + 5 i ____ 1 + 2 i · 1 – 2 i ____ 1 – 2 i = 5 + 5 i – 10 i – 1 0 i 2 __________ 1 – 4 i 2 = 15 – 5 i ____ 5 = 3 – i b 2 ____ 3 – 2 i = 2 ____ 3 – 2 i · 3 + 2 i ____ 3 + 2 i = 6 + 4 i ____ 9 – 4 i 2 = 6 + 4 i ____ 13 = 6 __ 13 + 4 __ 13 ·i Definition a + bi ____ c + di = (ac + bd) + (bc – ad)·i _____________ c 2 + d 2 c + di ≠ 0 Merkregel: Erweitern mit c – di führt auf die Division durch einen reellen (!) Nenner. – Begründe ! 3. Konjugiert komplexe Zahlen kennen Die voranstehende Merkregel gibt Anlass zur Definition Zwei kompøexe Zahøen, die sich nur im Vorzeichen ihres Imaginärteiøes unterscheiden, heißen zuein- ander konjugiert . Die zur kompøexen Zahø z konjugierte Zahø bezeichnet man mit _ z . Beispiel A Gib die konjugiert-kompøexe Zahø zu 1 z = 3 – 2 i, 2 z = 5 i, 3 z = 8 an! Lösung: 1 _ z = 3 + 2 i 2 _ z = ‒5 i 3 _ z = 8 = z S 5 A 38 A 34a 155152-007 Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv