Reichel Mathematik 7, Schulbuch

67 2.4 Regeln für das Differenzieren zusammengesetzter und verketteter Funktionen 2 8. Die geeignete(n) Ableitungsregel(n) erkennen und anwenden Beispiel O Differenziere (ohne das Ergebnis zu vereinfachen) auf zwei Arten ! a y = 9 ____ 3 x – 4 _____ 1 – x 2 b y = (3 + x)· 9 _____ 2 x – 1 c y = cos 2 x d y 3 – 3 x + 5 = 0 Lösung: a 1 y’ = 1/2 · (3 x – 4) ‒1/2 · 3 · (1 – x 2 ) – 9 ____ 3 x – 4 · (‒2 x) _______________________ (1 – x 2 ) 2 2 Wir verwenden eine über den ganzen Bruch reichende Wurzeø: y = 9 ____ 3 x – 4 _____ (1 – x 2 ) 2 y’ = 1/2· “ 3 x – 4 _____ (1 – x 2 ) 2 § – 1/2 · 3·(1 – x 2 ) 2 – (3 x – 4) · 2 · (1 – x 2 ) · (‒2 x) _____________________ (1 – x 2 ) 4 b 1 y’ = 1· 9 ____ 2 x – 1 + (3 + x)·1/2·(2 x – 1) ‒1/2 ·2 2 Wir bringen den ersten Faktor unter die Wurzeø: y = 9 ________ (3 + x) 2 · (2 x – 1) y’ = 1/2·((3 + x) 2 ·(2 x – 1)) ‒1/2 ·(2·(3 + x)·1·(2 x – 1) + (3 + x) 2 ·2) c 1 Die Kettenregeø øiefert y’ = ‒sin2 x·2 2 Gemäß Buch 5. Kø. S. 217 ist cos 2 x = cos 2 x – sin 2 x; daraus foøgt: y’ = 2·cos x·(‒sinx) – 2·sinx·cos x d 1 Impøizites Differenzieren øiefert: 3 y 2 ·y’ – 3 = 0 w y’ = 3 ___ 3 y 2 2 Wir formen zunächst in die expøizite Darsteøøung y = 3 9 ____ 3 x – 5 = (3 x – 5) 1/3 um und erhaøten: y’ = 1/3·(3 x – 5) ‒2/3 ·3 = 1 ______ 3 9 ____ 3 x – 5) 2 Beachte: Differenziert man eine Funktion f auf verschiedene Arten, so erhält man im Allgemeinen verschiedene Darstellungen ihrer (eindeutig bestimmten!) Ableitungsfunktion. Da es in den folgenden Aufgaben primär um das Einüben von Differentiationsregeln geht, beschränken wir uns dabei wie hier auf die rein formale Ermittlung der Funktionsgleichung der Ableitung (zumeist ohne weitere Vereinfachung), obwohl zu deren Festlegung genau genommen auch die Definitions- und Wertemenge gehört. Rechne nach, dass es sich in Beispieø O tatsächøich jeweiøs um dieseøbe Funktion f’ handeøt! 9. Mit Hilfe von CAS differenzieren Verwendet man einen CAS-tauglichen Taschenrechner oder ein CAS-Programm am Computer, so braucht man sich im Allgemeinen nicht darum zu kümmern, welche Ableitungsregel anzuwenden ist. Der Rechner entscheidet selbst darüber und wendet eine passende Regel an. Das Ergebnis wird aller- dings zuweilen in einer Form angezeigt, die nicht der einer händischen Rechnung zu entsprechen scheint, unter anderem weil noch zusätzliche Voraussetzungen mit angezeigt werden. Die Äquivalenz der beiden Funktionsterme selbst kann man (vgl. Buch 5. Kl. S. 50) nötigenfalls durch Gleichsetzen überprüfen; man erhält true oder false . Beispiel O (Fortsetzung) Löse unter Verwendung eines CAS-Gerätes! Lösung: Die Bildschirmkopien zeigen die vier Lösungen am TI-92 samt der Kontrolle der ersten Lösung. Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv